小白谈计算机图形学（二）如何画圆及拓展

Gaia ·

更新时间:2024-09-21

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小白谈计算机图形学（二）如何画圆引言如何画圆基本思想中点画圆法中点画圆基本思路中点画圆改进Bresenham画圆算法Bresenham基本思路Bresenham上手计算如何画椭圆开动脑筋，进行类比~椭圆实操线性处理线宽处理线刷子引起的问题：汇合外角缺口改进方形刷子线刷子与方形刷子的对比：超链接引言

与直线不同，圆上每点的斜率都是变化的，这一讲我们来介绍圆的画法，首先注意到圆具有八对称性，即只需研究18\frac{1}{8}81圆周即可。
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如何画圆 基本思想 隐函数方程：(xi,yi=r2−xi2)(x_i,y_i=\sqrt{r^2-x_i^2} )(xi,yi=r2−xi2) 参数方程：
{x=rcos⁡θy=rsin⁡θ \left\{ \begin {aligned} x = r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ \end {aligned} \right. {x=rcosθy=rsinθ
~~(But计算量大，不可取)~~ 中点画圆法 中点画圆基本思路

高效的画圆法必须避免三角函数计算和开方乘方计算，用构造函数F(x,y)=x2+y2−r2F(x,y)=x^2+y^2-r^2F(x,y)=x2+y2−r2
{F(x,y)=0(圆上的点)F(x,y)>0(圆外的点)F(x,y)<0(圆内的点) \left\{ \begin {aligned} F(x,y)=0(圆上的点)\\ F(x,y)>0(圆外的点)\\ F(x,y)<0(圆内的点)\\ \end {aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧F(x,y)=0(圆上的点)F(x,y)>0(圆外的点)F(x,y)<0(圆内的点)
选取衡量标准，判断下一点是在(xi+1,yi)(x_i+1,y_i)(xi+1,yi)还是(xi+1,y+i)(x_i+1,y+i)(xi+1,y+i),用m(xi+1,yi−0.5)m(x_i+1,y_i-0.5)m(xi+1,yi−0.5)代入得判别式：
d=F(xm,ym)=F(xi+1,yi−0.5)=(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2 \begin{aligned} d&=F(x_m,y_m)\\ &=F(x_i+1,y_i-0.5) \\ &=(x_i+1)^2+(y_i-0.5)^2-R^2 \end{aligned} d=F(xm,ym)=F(xi+1,yi−0.5)=(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2

d≤0d\leq0d≤0时，下一点为Pu(xi+1,yi)P_u(x_i+1,y_i)Pu(xi+1,yi),而我们真正关心的是求出误差项的递推公式，下面来推导：
dnew=F(xi+2,yi−0.5)=(xi+2)2+(yi−0.5)2−R2=(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2+2xi+3=dold+2xi+3 \begin{aligned} d_{new}&=F(x_i+2,y_i-0.5)\\ &=(x_i+2)^2+(y_i-0.5)^2-R^2\\ &=(x_i+1)^2+(y_i-0.5)^2-R^2+2x_i+3\\ &=d_{old}+2x_i+3 \end{aligned} dnew=F(xi+2,yi−0.5)=(xi+2)2+(yi−0.5)2−R2=(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2+2xi+3=dold+2xi+3

同理，d>0d>0d>0时：
dnew=F(xi+2,yi−1.5)=(xi+2)2+(yi−1.5)2−R2=(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2+(2xi+3)+(2−2yi)=dold+2(xi−yi)+5 \begin{aligned} d_{new}&=F(x_i+2,y_i-1.5)\\ &=(x_i+2)^2+(y_i-1.5)^2-R^2\\ &=(x_i+1)^2+(y_i-0.5)^2-R^2+(2x_i+3)+(2-2y_i)\\ &=d_{old}+2(x_i-y_i)+5 \end{aligned} dnew=F(xi+2,yi−1.5)=(xi+2)2+(yi−1.5)2−R2=(xi+1)2+(yi−0.5)2−R2+(2xi+3)+(2−2yi)=dold+2(xi−yi)+5

这里讨论的是按顺时针方向生成第一个八分圆。则第一个象素是:(0,r)(0,r)(0,r)，故得d0d_0d0：
d0=F(1,R−0.5)=1+(R−0.5)2−R2=1.25−R\begin{aligned} d_0&=F(1,R-0.5)\\&=1+(R-0.5)^2-R^2\\&=1.25-R \end{aligned} d0=F(1,R−0.5)=1+(R−0.5)2−R2=1.25−R
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中点画圆改进 由于只用ddd的正负，因此用d−0.25d-0.25d−0.25代替ddd 以摆脱小数，更新后的公式为：
{d0=1−Rdnew=dold+2xi+3(d≤0)dnew=dold+2(xi−yi)+5(d>0) \left\{ \begin{aligned} &d_0= 1-R\\ &d_{new}=d_{old}+2x_i+3(d\leq0) \\ &d_{new}=d_{old}+2(x_i-y_i)+5(d > 0) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧d0=1−Rdnew=dold+2xi+3(d≤0)dnew=dold+2(xi−yi)+5(d>0) 这里研究的圆心都在(0,0)(0,0)(0,0)点，画任一(xc,yc)(x_c,y_c)(xc,yc)点即是分别向x,yx,yx,y方向进行了平移。
~~缺点：有一点走样~~ Bresenham画圆算法 Bresenham基本思路

考虑14\frac{1}{4}41 象限的四分圆，此处以第一象限为例，每一点的下一个象素有三种选择，正右方(H)(H)(H)，右下方(D)(D)(D)，正下方(V)(V)(V)。观察发现以DDD的位置作为讨论依据最为科学。
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Bresenham上手计算

判断DDD点(注意是与圆上的距离不是圆心的距离)的位置：
ΔD=(x+1)2+(y+1)2−r2\Delta D=(x+1)^2+(y+1)^2-r^2ΔD=(x+1)2+(y+1)2−r2
接着判断D与E,D与F和圆周的相对距离大小判断涂色：

ΔD<0\Delta D<0ΔD<0,DDD在圆内，δHD=∣ΔH∣−∣ΔD∣=2ΔD+2y−1\delta HD=|\Delta H|-|\Delta D|=2\Delta D+2y-1δHD=∣ΔH∣−∣ΔD∣=2ΔD+2y−1，若小于等于000则选HHH，大于000则选DDD。 ΔD>0\Delta D>0ΔD>0,DDD在圆外，δDV=∣ΔD∣−∣ΔV∣=2(ΔD−x)−1\delta DV=|\Delta D|-|\Delta V|=2(\Delta D-x)-1δDV=∣ΔD∣−∣ΔV∣=2(ΔD−x)−1，若小于等于000则选DDD，大于000则选VVV。 ΔD(xp+1,yp−1)\Delta D(x_p+1,y_p-1)ΔD(xp+1,yp−1)的初值为ΔD=1+(1−r)2−r2=2−2r\Delta D=1+(1-r)^2-r^2=2-2rΔD=1+(1−r)2−r2=2−2r
故公式为：
{ΔD=2−2rδHD=2ΔD+2y−1δDV=2ΔD−2x−1ΔD<0{δHD≤0⇒H点:ΔDnew=ΔDold+2(x+1)+1δHD>0⇒D点:ΔDnew=ΔDold+2(x+1)−2(y−1)+2ΔD>0{δHD≤0⇒D点:ΔDnew=ΔDold+2(x+1)−2(y−1)+2δHD>0⇒V点:ΔDnew=ΔDold+2(y−1)+1ΔD=0⇒D点：ΔDnew=ΔDold+2(x+1)−2(y−1)+2 \left\{ \begin{aligned} &\Delta D=2-2r\\ &\delta HD=2\Delta D+2y-1 \\&\delta DV=2\Delta D-2x-1\\ &\Delta D0\Rightarrow D点:\Delta D_{new}=\Delta D_{old}+2(x+1)-2(y-1)+2 \end{aligned} \right.\\ &\Delta D>0 \left\{ \begin{aligned} &\delta HD\leq0 \Rightarrow D点:\Delta D_{new}=\Delta D_{old}+2(x+1)-2(y-1)+2 \\ &\delta HD>0 \Rightarrow V点:\Delta D_{new}=\Delta D_{old}+2(y-1)+1 \end{aligned} \right.\\ &\Delta D=0\Rightarrow D点：\Delta D_{new}=\Delta D_{old}+2(x+1)-2(y-1)+2 \\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ΔD=2−2rδHD=2ΔD+2y−1δDV=2ΔD−2x−1ΔD0⇒D点:ΔDnew=ΔDold+2(x+1)−2(y−1)+2ΔD>0{δHD≤0⇒D点:ΔDnew=ΔDold+2(x+1)−2(y−1)+2δHD>0⇒V点:ΔDnew=ΔDold+2(y−1)+1ΔD=0⇒D点：ΔDnew=ΔDold+2(x+1)−2(y−1)+2 优点：每次在三个点中判断，走样较小，可以一次处理四分之一圆。
~~缺点：算法复杂。~~ 如何画椭圆 开动脑筋，进行类比~

类同于中点画圆法，区别是画第一象限的四分之一椭圆弧，关键是找到临界点。
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椭圆实操

找到切线斜率为111的点p(xp,yp)p(x_p,y_p)p(xp,yp)，利用中点画线法进行处理：
{xp=a2a2+b2yp=b2a2+b2 \left\{ \begin{aligned} &x_p= \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ &y_p= \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧xp=a2+b2a2yp=a2+b2b2
将14\frac{1}{4}41椭圆分成(0,b)(0,b)(0,b)到ppp点，(a,0)(a,0)(a,0)到ppp点两块,故公式为：
{(0,b)到p点：{d0=b2+(−b+0.25)a2dnew=dold+(2x+3)b2(d≤0)dnew=dold+(2x+3)b2+(2−2y)a2(d>0)(a,0)到p点：{d0=(−a+0.25)b2+a2dnew=dold+(2y+3)a2(d≤0)dnew=dold+(2y+3)a2+(2−2x)b2(d>0) \left\{ \begin{aligned} &(0,b)到p点： \left\{ \begin{aligned} &d_0=b^2+(-b+0.25)a^2\\ &d_{new}=d_{old}+(2x+3)b^2(d\leq0)\\ &d_{new}=d_{old}+(2x+3)b^2+(2-2y)a^2(d>0) \end{aligned} \right.\\ &(a,0)到p点： \left\{ \begin{aligned} &d_0=(-a+0.25)b^2+a^2\\ &d_{new}=d_{old}+(2y+3)a^2(d\leq0)\\ &d_{new}=d_{old}+(2y+3)a^2+(2-2x)b^2(d>0) \end{aligned} \right. \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧(0,b)到p点：⎩⎪⎨⎪⎧d0=b2+(−b+0.25)a2dnew=dold+(2x+3)b2(d≤0)dnew=dold+(2x+3)b2+(2−2y)a2(d>0)(a,0)到p点：⎩⎪⎨⎪⎧d0=(−a+0.25)b2+a2dnew=dold+(2y+3)a2(d≤0)dnew=dold+(2y+3)a2+(2−2x)b2(d>0)

线性处理

线画图元的基本属性有线型、宽度和颜色。

线宽处理 线刷子 当斜率k∈[−1,1]k∈[-1,1]k∈[−1,1]之间，刷子置成垂直方向（水平方向刷），刷子的中点对准直线一端点，然后让刷子中心往直线的另一端移动，即可刷出具有一定宽度的线。同理，当斜率k∉[−1,1]k\notin [-1,1]k∈/[−1,1]之间时，把刷子置成水平方向（竖直方向刷）。
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