普林斯顿微积分读本笔记：第6章 求解微积分问题

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}f′(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​

求：f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​
f′(x)=lim⁡h→01x+h−1xhf'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}f′(x)=h→0lim​hx+h1​−x1​​
如果此时用000替换hhh，分母为000失败，把分子通分
f′(x)=lim⁡h→0x−(x+h)x(x+h)h=lim⁡h→0−hhx(x+h)=lim⁡h→0−1x(x+h)f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-h}{hx(x+h)}=\lim_{h\to 0}\frac{-1}{x(x+h)}f′(x)=h→0lim​hx(x+h)x−(x+h)​​=h→0lim​hx(x+h)−h​=h→0lim​x(x+h)−1​
接着用000替换hhh，得到f′(x)=−1x2f'(x)=-\frac{1}{x^2}f′(x)=−x21​
也就是ddx(1x)=−1x2\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^2}dxd​(x1​)=−x21​

求：f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→0x+h−xhf'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}f′(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​=h→0lim​hx+h​−x​​
=lim⁡h→0x+h−xh×x+h+xx+h+x=lim⁡h→0(x+h)−xh(x+h+x)=lim⁡h→01x+h+x=12x=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \times \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}=h→0lim​hx+h​−x​​×x+h​+x​x+h​+x​​=h→0lim​h(x+h​+x​)(x+h)−x​=h→0lim​x+h​+x​1​=2x​1​

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