普林斯顿微积分读本笔记：第5章连续性和可导性

Lida ·

更新时间:2024-09-21

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连续性 在一点上连续

如果lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a)limx→af(x)=f(a)，函数fff在点x=ax=ax=a处连续。
为了让等式有意义，等号两边必须都是有定义的。如果极限不存在，那么fff在x=ax=ax=a处不连续，而如果f(a)f(a)f(a)不存在，那么彻底完蛋。

双侧极限lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x)limx→af(x)存在(并且是有限的) 函数在点x=ax=ax=a处有定义，即f(a)f(a)f(a)存在(并且是有限的) 以上两个量相等。 在区间上连续 函数fff在(a,b)(a,b)(a,b)中的每一点都连续函数fff在点x=ax=ax=a处右连续，即lim⁡x→a+f(x)\lim_{x\to a^+}f(x)limx→a+f(x)(且有限)，f(a)f(a)f(a)存在，并且这两个量相等函数fff在点x=bx=bx=b处左连续，即lim⁡x→a−f(x)\lim_{x\to a^-}f(x)limx→a−f(x)(且有限)，f(b)f(b)f(b)存在，并且这两个量相等 连续函数的例子

任意一个多项式，每一个都是连续的。
证明：
lim⁡x→−1x2−3x+2x−2\lim_{x\to -1}\frac{x^2-3x+2}{x-2}x→−1limx−2x2−3x+2
将x=−1x=-1x=−1代入上式求解得到结果为−2-2−2，为什么可以这样做？
上述极限的值与在x=−1x=-1x=−1处发生的情况无关，仅仅与在x=−1x=-1x=−1附近的情况有关这一点相矛盾。
但是可以用连续性证明：它将"附近的"与“在“联系了起来，本题中除了在分母为000的点外，fff是处处连续的。也就是说，除了在x=2x=2x=2处，fff是处处连续的。因此，fff在x=−1x=-1x=−1上是连续的，这就意味着
lim⁡x→−1f(x)=f(−1)\lim_{x\to -1}f(x)=f(-1)x→−1limf(x)=f(−1)

介值定理

如果fff在[a,b][a,b][a,b]上连续，并且f(a)<0f(a)<0f(a)<0且f(b)>0f(b)>0f(b)>0，那么在区间(a,b)(a,b)(a,b)上至少有一点ccc，使得f(c)=0f(c)=0f(c)=0，代之以f(a)>0f(a)>0f(a)>0且f(b)<0f(b)<0f(b)<0同样成立
拓展：如果fff在[a,b][a,b][a,b]上连续，并且f(a)<Mf(a)<Mf(a)<M且f(b)>Mf(b)>Mf(b)>M，那么在区间(a,b)(a,b)(a,b)上至少有一点ccc，使得f(c)=Mf(c)=Mf(c)=M，代之以f(a)>Mf(a)>Mf(a)>M且f(b)<Mf(b)<Mf(b)<M同样成立

奇数次多项式至少有一个根 最大值与最小值定理

如果fff在[a,b][a,b][a,b]上连续，那么fff在[a,b][a,b][a,b]上至少有一个最大值和最小值。
条件：函数fff连续，其次是个闭区间，因为开区间可能导致某个在端点上之类

可导性

平均速率是行驶距离除以行驶时间，平均速度是位移除以行驶时间，速度可以是负的，但是速率必定是非负的。
在时刻ttt的瞬时速度
lim⁡u→tf(u)−f(t)u−t\lim_{u\to t}\frac{f(u)-f(t)}{u-t}u→tlimu−tf(u)−f(t)
变体：定义h=u−th=u-th=u−t
lim⁡h→0f(t+h)−f(t)h\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}h→0limhf(t+h)−f(t)

导数

如果极限存在的话
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)
在这种情况下，fff在xxx点可导。如果对于某个特定的xxx，极限不存在，那么xxx的值就没有在导函数f′f'f′的定义域中，即fff在xxx点不可导。
速度正是位置关于时间的导数
例如：
f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = {\lim_{h\to 0}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)
=lim⁡h→0(x+h)2−x2h=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=h→0limh(x+h)2−x2
=lim⁡h→02xh+h2h=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}=h→0limh2xh+h2
=2x=2x=2x

作为极限比的导数

符号Δx\Delta xΔx表示”在x中的变化“
符号dxdxdx表示”xxx中的十分微小的变化“
f′(x)=dydx=d(x2)dx=ddx(x2)=2xf'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d(x^2)}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2)=2xf′(x)=dxdy=dxd(x2)=dxd(x2)=2x
dydx\frac{dy}{dx}dxdy是yyy关于xxx的导数，根本不是一个分数，它是当Δx→0\Delta x\to 0Δx→0是分数ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy的极限

二阶导数和更高导数

二阶导数：如果y=f(x)y=f(x)y=f(x)，那么可以用d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}dx2d2y代替f′′(x)f''(x)f′′(x)
三阶导数：f′′′(x),f(3)(x),d3ydx3,d3dx3(y)f'''(x),f^{(3)}(x),\frac{d^3y}{dx^3},\frac{d^3}{dx^3}(y)f′′′(x),f(3)(x),dx3d3y,dx3d3(y)

导数不存在

证明：f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→0∣x+h∣−∣x∣hf'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limh∣x+h∣−∣x∣
当x=0x=0x=0时
f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0∣0+h∣−∣0∣h=lim⁡h→0∣h∣hf'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}f′(0)=h→0limhf(0+h)−f(0)=h→0limh∣0+h∣−∣0∣=h→0limh∣h∣
该极限不存在，因为左右极限不相等
存在不可导的连续函数

可导性和连续性

如果一个函数fff在xxx上可导，那么它在xxx上连续
首先一个函数可导，要证明它同时连续的话，那么需要证明：
lim⁡u→xf(u)=f(x)\lim_{u\to x}f(u)=f(x)u→xlimf(u)=f(x)
只有当等号两边同时存在时，上式才成立，用h=u−xh=u-xh=u−x作替换，这种情况下u=x+hu=x+hu=x+h，并且当u→xu\to xu→x时，h→0h\to 0h→0，因此，上式变为：
lim⁡h→0f(x+h)=f(x)\lim_{h\to 0}f(x+h)=f(x)h→0limf(x+h)=f(x)
这样，只需要证明等号两边都存在且相等
首先，fff在xxx上可导，那就意味着f′(x)f'(x)f′(x)存在，根据f′f'f′的定义，极限lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}limh→0hf(x+h)−f(x)存在，这个式子中包含了f(x)f(x)f(x)，那么它一定存在，否则上式无从谈起。
接着需要想些聪明的办法，技巧如下，证明另一个极限：
lim⁡h→0(f(x+h)−f(x)h×h)\lim_{h\to 0}(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\times h)h→0lim(hf(x+h)−f(x)×h)
因为：
lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h×lim⁡h→0h=f′(x)×0=0\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \times \lim_{h\to 0}h=f'(x) \times 0=0h→0limhf(x+h)−f(x)×h→0limh=f′(x)×0=0
但是可以在原始极限中就消去因子hhh得到：
lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→0(f(x+h)−f(x))=0\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}(f(x+h)-f(x))=0h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0lim(f(x+h)−f(x))=0
因为f(x)f(x)f(x)根本不依赖与极限，所以提出来
lim⁡h→0f(x+h)=f(x)\lim_{h\to 0}f(x+h)=f(x)h→0limf(x+h)=f(x)
这就正是所需要证明的了，所以可导函数必定连续，但是连续函数不一定可导。