20应用统计考研复试要点(part11)--应用多元分析

设A是p阶对称矩阵，xxx是p维向量，则x′Axx'Axx′Ax称为A的二次型。

若对一切x≠0x \not= 0x​=0，有x′Ax>0x'Ax > 0x′Ax>0，则称A为正定矩阵，记作A>0A>0A>0

若对一切xxx，有x′Ax≥0x'Ax \geq 0x′Ax≥0，则称A为非负定矩阵，记作A≥0A \geq 0A≥0

(1)设A=A′A=A'A=A′，则A>0A>0A>0(或A≥0A \geq 0A≥0)， 当且仅当A的所有特征值均为正(或非负)

(2)设A≥0A \geq 0A≥0，则A的秩等于A的正特征值个数。

(3)若A>0A>0A>0，则A−1>0A^{-1}>0A−1>0

(4)设A≥0A \geq 0A≥0，则A>0A>0A>0，当且仅当∣A∣≠0|A| \not= 0∣A∣​=0

(5)若A>0A>0A>0(或A≥0A \geq 0A≥0)，则∣A∣>0|A|>0∣A∣>0(或∣A∣≥0|A| \geq 0∣A∣≥0)

(6)对于一切矩阵B，BB′≥0BB' \geq 0BB′≥0

(7)若A>0A>0A>0(或A≥0A \geq 0A≥0)，则存在A1/2>0A^{1/2}>0A1/2>0(或A1/2≥0A^{1/2} \geq 0A1/2≥0)，使得A=A1/2A1/2A=A^{1/2}A^{1/2}A=A1/2A1/2，A1/2A^{1/2}A1/2称为A的平方根矩阵。

由于A1/2A^{1/2}A1/2对称且其特征值λi>0\sqrt{\lambda_i} > 0λi​​>0(或λi≥0\sqrt{\lambda_i} \geq 0λi​​≥0)，i=1,2,...,pi=1,2,...,pi=1,2,...,p，所以A1/2>0A^{1/2}>0A1/2>0(或A1/2≥0A^{1/2} \geq 0A1/2≥0)

注意：当p=1时，A=aA=aA=a是一个正数(或非负数),可有a=a1/2a1/2a=a^{1/2}a^{1/2}a=a1/2a1/2，而a1/2a^{1/2}a1/2也是一个正数或非负数。

(8)设A≥0A \geq 0A≥0，是p阶秩为r的矩阵，则存在一个秩为r(即列满秩)的p×rp \times rp×r矩阵B，使得A=BB′A=BB'A=BB′

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