20应用统计考研复试要点(part19)--概率论与数理统计

利用概率的公理化定义（非负性、正则性和可列可加性），可以导出概率的一系列性质。以下我们逐个给出概率的一些常用性质。

P(∅)=0P(\emptyset)=0P(∅)=0

若有限个事件A1,A2,...,AnA_1,A_2,...,A_nA1​,A2​,...,An​互不相容，则有:
P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai) P \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{i=1}^n P(A_i) P(i=1⋃n​Ai​)=i=1∑n​P(Ai​)

对任一事件A，有：
P(A‾)=1−P(A) P(\overline{A})=1-P(A) P(A)=1−P(A)

若A⊃BA \supset BA⊃B，则：
P(A−B)=P(A)−P(B) P(A-B)=P(A)-P(B) P(A−B)=P(A)−P(B)

推论(单调性)：若A⊃BA \supset BA⊃B，则P(A)≥P(B)P(A) \ge P(B)P(A)≥P(B)

对任意两个事件A，B，有：
P(A−B)=P(A)−P(AB) P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)

对任意两个事件A，B，有：
P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(AB) P(A \bigcup B) = P(A) + P(B) - P(AB) P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(AB)

推论(半可加性)：对任意两个事件A，B，有P(A⋃B)≤P(A)+P(B)P(A \bigcup B) \le P(A) + P(B)P(A⋃B)≤P(A)+P(B)

对于任意n个事件A1,A2,...,AnA_1,A_2,...,A_nA1​,A2​,...,An​，有：
P(⋃i=1nAi)≤∑i=1nP(Ai) P \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \le \sum_{i=1}^n P(A_i) P(i=1⋃n​Ai​)≤i=1∑n​P(Ai​)

(略)P37

若P为事件域上的概率，则P既是下连续的，又是上连续的。

若P为事件域上满足P(Ω)=1P(\Omega)=1P(Ω)=1的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是：

(1)它是有限可加的；

(2)它是下连续的。

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