洛谷P1070道路游戏题解--zhengjun
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思路首先，这道题一定是个dpdpdp，因为题中说一旦机器人走到头了，就要立刻在其他任意的一个机器人工厂买。
一开始弄得fi,jf_{i,j}fi,j是到了第iii个工厂，用了jjj个时间，机器人已经走到头了的最大金币数，然后一想，似乎不需要前面这一个维度，(我要你有何用)，反正下一次都可以在任意的地方干嘛还要这样嘛。
所以就用fif_ifi表示用了iii个时间，机器人已经走到头了的最大金币数，转移公式就是：
fi=max{fi−k+sum(i,j,k)−aj−k},sumf_i=\max\{f_{i-k}+sum(i,j,k)-a_{j-k}\},sumfi=max{fi−k+sum(i,j,k)−aj−k},sum就是在jjj分钟时从iii个工厂开始向后走kkk个工厂路上可以得到的价值。
然后，就在想怎么求这个奇怪的sumsumsum，呦吼，前缀和是个好东西，用前缀和表示，现在用了jjj分钟走到了iii个工厂所得到的金币数，那么，不就可以递推求解了吗？这里要注意一下是个环，我习惯111开头了，改不掉。
所以，先用ttt数组存下每条道路每个时间的金币数
sumi,j=sumlasti,j−1+tlasti,jsum_{i,j}=sum_{last_i,j-1}+t_{last_i,j}sumi,j=sumlasti,j−1+tlasti,j
这个lastlastlast因为我是从111开始的，所以有点麻烦。
因为最后要从111开始，所以最后取模完要加一个111，那么，在取模之前就要减一个111，然后就是这样lasti=(i−1−1+n) mod n+1last_i=(i-1-1+n)\bmod n+1lasti=(i−1−1+n)modn+1
如果要从iii号点开始，往前kkk个点，就是((i−k−1) mod n+n) mod n((i-k-1)\bmod n+n)\bmod n((i−k−1)modn+n)modn
好了，复杂度O(n3)O(n^3)O(n3)，有点勉强
#include
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
int n,m,p;
int a[1001];
int t[1001][1001];
int sum[1001][1001];
int f[1001];
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%d",&t[i][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
for(int j=1;j<=m;j++){
for(int i=1;i<=n;i++){
sum[i][j]=sum[(i-1-1+n)%n+1][j-1]+t[(i-1-1+n)%n+1][j];
}
}
for(int i=1;i<=m;i++){
f[i]=-0x3fffffff;
for(int j=1;j<=n;j++){
for(int k=1;k<=p&&k<=i;k++){
int last=((j-k-1)%n+n)%n+1;
f[i]=max(f[i],f[i-k]+sum[j][i]-sum[last][i-k]-a[last]);
}
}
}
printf("%d",f[m]);
return 0;
}
然后，发现刚才那个式子其实就是(为了看得清楚，环先不考虑)：
fi=max{fi−k+sumj,i−sumj−k,i−k−aj−k}f_i=\max\{f_{i-k}+sum_{j,i}-sum_{j-k,i-k}-a_{j-k}\}fi=max{fi−k+sumj,i−sumj−k,i−k−aj−k}
=max{fi−k−sumj−k,i−k−aj−k}+sumj,i=\max\{f_{i-k}-sum_{j-k,i-k}-a_{j-k}\}+sum_{j,i}=max{fi−k−sumj−k,i−k−aj−k}+sumj,i
这一坨−k⋯-k\cdots−k⋯，发现好像可以用队列维护。
用qi,jq_{i,j}qi,j维护fi−sumj,i−ajf_{i}-sum_{j,i}-a_{j}fi−sumj,i−aj，然后复杂度就成了O(n2)O(n^2)O(n2)，终于没了。
代码#include
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
int n,m,p;
int a[1001];
int t[1001][1001];
int sum[1001][1001];
int f[1001];
int q[1001][1001],k[1001][1001],head[1001],tail[1001];
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
scanf("%d",&t[i][j]);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
q[i][0]=-a[i];
}
for(int j=1;j<=m;j++)
for(int i=1;i<=n;i++)
sum[i][j]=sum[(i-1-1+n)%n+1][j-1]+t[(i-1-1+n)%n+1][j];
for(int i=1;i<=m;i++){
f[i]=-0x3fffffff;
for(int j=1;j<=n;j++){
int l=((j-i-1)%n+n)%n+1;
while(head[l]<=tail[l]&&k[l][head[l]]+p<i)head[l]++;
if(head[l]<=tail[l])f[i]=max(f[i],q[l][head[l]]+sum[j][i]);
}//这部分是找到最佳的一个k,然后下面是更新序列,注意千万不能并在一起，因为f[i]还没有更新完
for(int j=1;j<=n;j++){
int l=((j-i-1)%n+n)%n+1;
int x=f[i]-sum[j][i]-a[j];
while(head[l]<=tail[l]&&q[l][tail[l]]<=x)tail[l]--;
k[l][++tail[l]]=i;
q[l][tail[l]]=x;
}
}
printf("%d",f[m]);
return 0;
}
谢谢–zhengjun
作者：A_zjzj
