【数学】位运算与代数结构

在java中，位运算主要有非∼\sim∼，与&\&&，或∣|∣，异或∧\wedge∧，左移<<<<<<，右移>>>>>>，算数右移>>>>>>>>>，这么多种。我们只考虑三十二位整数，也就是java中的int类型。将其符合的运算律以及代数结构整理如下：
设ZZZ是三十二位整数全体。则∀x∈Z\forall x \in Z∀x∈Z，有：

1、x+∼x=−1x+\sim x=-1x+∼x=−1
证明可以由计算机中负数表示方法得到。因为−x=∼x+1-x=\sim x+1−x=∼x+1，所以上式成立。

2、设x∈{0,1}x\in\{0,1\}x∈{0,1}，则x&0=0,x∣1=1,x&1=x,x∣0=xx\&0=0, x|1=1, x\&1=x, x|0=xx&0=0,x∣1=1,x&1=x,x∣0=x并且若x,y,z∈{0,1}x,y,z\in\{0,1\}x,y,z∈{0,1}，则x&y=y&x,x∣y=y∣x,(x&y)&z=x&(y&z),(x∣y)∣z=x∣(y∣z)x\&y=y\& x, x|y=y|x, \\(x\&y)\&z=x\&(y\&z), (x|y)|z=x|(y|z)x&y=y&x,x∣y=y∣x,(x&y)&z=x&(y&z),(x∣y)∣z=x∣(y∣z)所以&\&&和∣|∣满足交换律和结合律。用群论的语言就是，({0,1},&)(\{0,1\},\&)({0,1},&)与({0,1},∣)(\{0,1\},|)({0,1},∣)是一个交换幺半群（commutative monoid）。即：
({0,1},&)(\{0,1\},\&)({0,1},&)是一个交换幺半群，单位元是111，000不可逆；
({0,1},∣)(\{0,1\},|)({0,1},∣)是一个交换幺半群，单位元是000，111不可逆。

3、若x,y,z∈{0,1}x,y,z\in\{0,1\}x,y,z∈{0,1}，考虑分配律，我们有：x&(y∣z)=(x&y)∣(x&z)x∣(y&z)=(x∣y)&(x∣z)x\&(y|z)=(x\&y)|(x\&z)\\x|(y\&z)=(x|y)\&(x|z)x&(y∣z)=(x&y)∣(x&z)x∣(y&z)=(x∣y)&(x∣z)证明非常简单，只需要对xxx进行考虑，再结合前面的性质就可以了。所以由上面可知，它们还互相满足分配律。

4、德摩根律：∼(x&y)=(∼x)∣(∼y)∼(x∣y)=(∼x)&(∼y)\sim (x\& y)=(\sim x)| (\sim y)\\\sim (x| y)=(\sim x)\& (\sim y)∼(x&y)=(∼x)∣(∼y)∼(x∣y)=(∼x)&(∼y)

由于位运算是把两个int的每个数的每一位单独拿出来分别对应的做运算，所以上面的性质对任意int的xxx和yyy都是成立的，但是要按照计算机里的二进制表示稍微改动一下：∀x∈Z,x&0=0,x∣(−1)=−1,x&(−1)=x,x∣0=x\forall x\in Z, x\&0=0, x|(-1)=-1, x\&(-1)=x, x|0=x∀x∈Z,x&0=0,x∣(−1)=−1,x&(−1)=x,x∣0=x交换律结合律分配律仍然保持正确。

4、以上看出来，&\&&和∣|∣的性质还不够好，不过∧\wedge∧的性质就相当好了。我们有这样的结论：({0,1},∧)(\{0,1\},\wedge)({0,1},∧)是个阿贝尔群。
证明：封闭性显然，交换律显然，000是单位元，且两个元素的阶都是222，也就是逆元都是自己。结合律证明如下：由于x∧y=(x&∼y)∣(∼x&y)x\wedge y=(x\&\sim y)|(\sim x\&y)x∧y=(x&∼y)∣(∼x&y)，所以：(x∧y)∧z=((x&∼y)∣(∼x&y))∧z=(((x&∼y)∣(∼x&y))&∼z)∣(∼((x&∼y)∣(∼x&y))&z)=(x&∼y&∼z)∣(∼x&y&∼z)∣(x&y&z)∣(∼x&∼y&z)=(x&((∼y&∼z)∣(y&z)))∣(∼x&((y&∼z)∣(∼y&z)))=(x&∼(y∧z))∣(∼x&(y∧z))=x∧(y∧z)(x\wedge y)\wedge z=((x\&\sim y)|(\sim x\&y))\wedge z\\=(((x\&\sim y)|(\sim x\&y))\&\sim z) |\\ (\sim((x\&\sim y)|(\sim x\&y))\& z)\\=(x\&\sim y\&\sim z)|(\sim x\& y\&\sim z)|\\(x\& y\& z)|(\sim x \&\sim y \& z)\\=(x\&((\sim y \& \sim z)|(y\& z)))|\\(\sim x\&((y \& \sim z)|(\sim y\& z)))\\=(x\&\sim (y\wedge z))|(\sim x\& (y\wedge z))\\=x\wedge (y\wedge z)(x∧y)∧z=((x&∼y)∣(∼x&y))∧z=(((x&∼y)∣(∼x&y))&∼z)∣(∼((x&∼y)∣(∼x&y))&z)=(x&∼y&∼z)∣(∼x&y&∼z)∣(x&y&z)∣(∼x&∼y&z)=(x&((∼y&∼z)∣(y&z)))∣(∼x&((y&∼z)∣(∼y&z)))=(x&∼(y∧z))∣(∼x&(y∧z))=x∧(y∧z)所以结合律成立。所以({0,1},∧)(\{0,1\},\wedge)({0,1},∧)是个阿贝尔群。

5、关于左移和右移，有两个很显然的结论：x>>1=x/2x>>1=x/2x>>1=x/2，以及x<<1=2xx<<1=2xx<<1=2x。这里要注意xxx的范围，操作没有溢出的话等式是对的，否则需要仔细考虑。

6、接下来是两个常用的位运算操作：
求xxx的从右向左数第iii位是什么（iii从000开始计数）：(x>>i)&1(x>>i)\&1(x>>i)&1；
求xxx的从右向左数第111个111出现的位置代表的数是几：lowbit(x)=x&−xlowbit(x)=x\&-xlowbit(x)=x&−x。这个结论可以由−x=∼x+1-x=\sim x+1−x=∼x+1得到。

7、位运算与集合构造。给定一个集合，设有nnn个元素，那么其子集可以由一个nnn位二进制数来表示，每一位就代表相应位置的元素是否在这个子集中。对于子集aaa和bbb，它们的并，交和对称差可以由a∣ba|ba∣b，a&ba\& ba&b和a∧ba\wedge ba∧b来表示。

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