Java利用位运算实现乘法运算详解

Viridis ·

更新时间:2024-09-20

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前言

正文

十进制相乘

二进制相乘

思路分析

代码实现

总结

前言

在上一篇中，我们介绍了使用位运算实现加法和减法运算，接下来本文主要介绍如何用位运算实现乘法运算，在实现乘法时要用位运算实现，并且不能出现加减乘除任何符号。

之前介绍过一篇如何用位运算实现加法和减法：如何用位运算实现加减运算？

正文

在用位运算实现之前，我们先来回忆一下小学时，学乘法时用的十字相乘法。

十进制相乘

例如，26 * 15，在进行乘法操作时，我们一般这样算，先用5乘以6得到30，把0写下把3记在一边，再用5乘以2得到10再加上之前的3写在下面，得到130；计算完5再计算1分别乘以6和2把得到的结果26记在下面，然后把130和26相加(有错位)得到390。

二进制相乘

看完了十进制的相乘，再来看下二进制的相乘，基本原理是一样的，也是以十字相乘法为例，计算 5 * 7。

5的二进制为101，7的二进制为111，来看下二进制的十字相乘法。

可以看到二进制为101和二进制111用传统的方式来计算，得到的结果为100011，而二进制100011对应的十进制为35。
所以说，在计算的过程中，十进制和二进制的计算方式是一样的，当然这里就不进行举例和证明了。

思路分析

既然计算过程有了，那么怎么样用代码来实现呢？

我们再来看下上图中二进制的计算过程：

先用二进制111的最后一位1 乘上 101 得到 101。

再用二进制111的倒数第2位1 乘上 101 得到 101。

再用二进制111的倒数第3位1 乘上 101 得到 101。

得到的三个101进行二进制相加，得到 100011。

注意，第2步和第3步得到的结果101都往前挪了一位，相当于1010和10100，也就是最后相加的计算为：10100 + 1010 + 101 = 100011。

再来看得到最终相加的计算10100 + 1010 + 101 = 100011，也就是只要我们找到如何把数据转换为几位数的相加就可以了，因为之前已经实现了如何用位运算实现加法操作。

这三个数101、1010、10100的数量刚好与二进制111的个数相同，也就是二进制(上图下面那个乘数111)有几位就会产生几个数相加，如果是与11111相乘就会产生5个数相加。

再来看数据之前的关系：

第一次相乘结果：101 = 101 + 0

第二次相乘结果：1111 = 101 < 1 + 101 = 1010 + 101

第三次相乘结果：100011 = 101 < 2 + 1111 = 10100 + 1010 + 101

从这里我们可以看到，每计算一次，101只需要向左移一次再加上上一次的计算结果就可以了。

那么，怎么知道要左移多少次呢？从这里例子中看，111每次计算后，向右移动一次，101也跟着向左移动一次，直到111只剩最后一位，则停止计算就好了。

代码实现

根据上面的思路，来实现一下代码：

// 用位运算实现加法
public static int add(int a, int b) {
    int sum = 0;
    while (b != 0) {
        sum = a ^ b;
        b = (a & b) << 1;
        a = sum;
    }
    return sum;
}
// 用位运算实现减法
public static int multi(int a, int b) {
    int res = 0;
    while (b != 0) {
        if ((b & 1) != 0) {
            res = add(res, a);
        }
        a <<= 1;
        b >>>= 1;
    }
    return res;
}

运行一下代码，看下结果：