数学建模上课（一）推导万有引力定律

数学建模上课（一）推导万有引力定律

万有引力的推导，是一个伟大而且美丽的过程，他承接着前人的研究成果，为后世开辟的新的天地。

这里主要用到牛顿第二定律
F⃗=ma⃗\vec{F} = m\vec{a}F=ma

我们先来看一看开普勒三定律可以得出什么结论：

行星围绕太阳转动轨迹是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。

把恒星行星放到极坐标中，恒星为原点。
r=p1−ecosθr = \frac{p}{1-ecos\theta}r=1−ecosθp​
其中焦参数为
p=b2ap=\frac{b^2}{a}p=ab2​
离心率为
e=1−b2a2e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}e=1−a2b2​​
椭圆长轴a，短轴b.

设
{r=r(t)θ=θ(t)\left\{\begin{matrix} r=r(t)\\ \theta=\theta(t) \end{matrix}\right.{r=r(t)θ=θ(t)​

对于r求导，得到径向速度r˙\dot{r}r˙
drdt=r˙\frac{dr}{dt}=\dot{r}dtdr​=r˙
径向加速度r¨\ddot{r}r¨
d2rdt2=r¨\frac{d^2r}{dt^2}=\ddot{r}dt2d2r​=r¨
对于θ\thetaθ求导，得到角速度ω\omegaω
dθdt=ω\frac{d\theta}{dt}=\omegadtdθ​=ω
角加速度ω˙\dot{\omega}ω˙
dωdt=ω˙\frac{d\omega}{dt}=\dot{\omega}dtdω​=ω˙

换一种坐标系，笛卡尔坐标系，行星坐标为
r⃗=(rcosθ,rsinθ)\vec{r}=(rcos\theta,rsin\theta)r=(rcosθ,rsinθ)
所以
F⃗=ma⃗=dr⃗2d2t\vec{F} = m\vec{a}=\frac{d\vec{r}^2}{d^2t}F=ma=d2tdr2​
自然分别求 rcosθrcos\thetarcosθ和rsinθrsin\thetarsinθ的二阶导得到x，y方向上的加速度。
d2(rcosθ)dt2=(r¨−rω2)cosθ−(2r˙ω+rω˙)sinθ\frac{d^2(rcos\theta)}{dt^2}=(\ddot{r}-r\omega ^2)cos\theta - (2\dot{r}\omega+r\dot{\omega})sin\thetadt2d2(rcosθ)​=(r¨−rω2)cosθ−(2r˙ω+rω˙)sinθ
d2(rsinθ)dt2=(2r˙ω)cosθ+(r¨−rω2)sinθ\frac{d^2(rsin\theta)}{dt^2}=(2\dot{r}\omega)cos\theta+(\ddot{r}-r\omega^2)sin\thetadt2d2(rsinθ)​=(2r˙ω)cosθ+(r¨−rω2)sinθ
设方向向量为
r0⃗=(cosθ,sinθ)\vec{r_{0}}=(cos\theta,sin\theta)r0​​=(cosθ,sinθ)
可以得到
a⃗=d2r⃗dt2=(r¨−rω2)r0⃗+2r˙ω+rω˙ωr0˙⃗\vec{a}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=(\ddot{r}-r\omega^2)\vec{r_{0}}+\frac{2\dot{r}\omega+r\dot{\omega}}{\omega}\vec{\dot{r_0}}a=dt2d2r​=(r¨−rω2)r0​​+ω2r˙ω+rω˙​r0​˙​​

那么问题变得清楚多了，只需要求r¨−rω2\ddot{r}-r\omega^2r¨−rω2和2r˙ω+rω˙ω\frac{2\dot{r}\omega+r\dot{\omega}}{\omega}ω2r˙ω+rω˙​即可。
接下来我们看看开普勒第二第三定律能给我们带来什么结果。

单位时间里，极径扫过的椭圆面积为常数。
dAdt=常数\frac{dA}{dt}=常数dtdA​=常数

使用微积分的思想
dA=12r2dΘdA=\frac{1}{2}r^{2}d\ThetadA=21​r2dΘ
可以算出
dAdt=12r2ω\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^{2}\omegadtdA​=21​r2ω
面积A我们都可以计算或者测量出来
A=πabA=\pi abA=πab
T为绕太阳一周花的时间
积分得到
πab=∫0TdA=∫0TdAdtdt=12r2ωT\pi ab = \int_{0}^{T}dA=\int_{0}^{T}\frac{dA}{dt}dt=\frac{1}{2} r^{2}\omega Tπab=∫0T​dA=∫0T​dtdA​dt=21​r2ωT
所以得到了
r2ω=2πabTr^{2}\omega = \frac{2\pi ab}{T}r2ω=T2πab​
既然是常数，那么自然可以求一波导
(r2ω)′=2rr˙ω+r2ω˙=0(r^2\omega)'=2r\dot{r}\omega + r^2\dot{\omega}=0(r2ω)′=2rr˙ω+r2ω˙=0
化简得到
2r˙ω+rω˙=02\dot{r}\omega + r\dot{\omega}=02r˙ω+rω˙=0
于是，我们求出了刚刚开普勒第一定律立下的两个目标之一
2r˙ω+rω˙ω=0\frac{2\dot{r}\omega+r\dot{\omega}}{\omega}=0ω2r˙ω+rω˙​=0
只剩下了
a⃗=(r¨−rω2)r0˙⃗\vec{a}=(\ddot{r}-r\omega^2)\vec{\dot{r_0}}a=(r¨−rω2)r0​˙​​

现在，开始下一步求r¨−rω2\ddot{r}-r\omega^2r¨−rω2.
接下来的操作我承认是非常骚的，因为我是真的没有想到可以这么玩。我能做的只是跟着公式一步一步往下走，看看能得出啥就写啥，这么往下撞，这这里表达一下对大佬的崇拜。

加速度的值r¨−rω2\ddot{r}-r\omega^2r¨−rω2来自rcosθrcos\thetarcosθ(或rsinθrsin\thetarsinθ)求二阶导，椭圆方程p=r(1−ecosθ)p=r(1-ecos\theta)p=r(1−ecosθ)恰好有rcosθrcos\thetarcosθ项。所以对椭圆方程两边求导即可得到r¨−rω2\ddot{r}-r\omega^2r¨−rω2

得到
0=p¨=r¨−rω2rp+rω20=\ddot{p}=\frac{\ddot{r}-r\omega^2}{r}p+r\omega^20=p¨​=rr¨−rω2​p+rω2
所以
r¨−rω2=−r2ω2p\ddot{r}-r\omega^2=-\frac{r^2\omega^2}{p}r¨−rω2=−pr2ω2​
前面我们求出了r2ω=2πabTr^2\omega=\frac{2\pi ab}{T}r2ω=T2πab​
那么
r¨−rω2=−r2ω2p=−（r2ω）21r2ab2=−4π2a3T21r2\ddot{r}-r\omega^2 =-\frac{r^2\omega^2}{p} =-（r^2\omega）^2\frac{1}{r^2}\frac{a}{b^2}=-4\pi^2\frac{a^3}{T^2}\frac{1}{r^2}r¨−rω2=−pr2ω2​=−（r2ω）2r21​b2a​=−4π2T2a3​r21​
看到这里，我们就可以进入开普勒第三定律了。

椭圆的半长轴a的三次方比运行周期T的二次方成常数。
a3T2=常数\frac{a^{3}}{T^{2}}=常数T2a3​=常数
还是使用牛顿第二定律
F⃗=ma⃗=m(r¨−rω2)r0⃗=−m(4π2a3T2)1r2r0⃗=−(4π2Ma3T2)Mmr2r0⃗\vec{F} =m\vec{a} =m(\ddot{r}-r\omega^2)\vec{r_0} =-m(4\pi^2\frac{a^3}{T^2})\frac{1}{r^2}\vec{r_0} =-(\frac{4\pi^2}{M}\frac{a^3}{T^2})\frac{Mm}{r^2}\vec{r_0} F=ma=m(r¨−rω2)r0​​=−m(4π2T2a3​)r21​r0​​=−(M4π2​T2a3​)r2Mm​r0​​

设
G=(4π2Ma3T2)G = (\frac{4\pi^2}{M}\frac{a^3}{T^2})G=(M4π2​T2a3​)
得
F⃗=−GMmr2r0⃗\vec{F}=-G\frac{Mm}{r^2}\vec{r_0}F=−Gr2Mm​r0​​

成功推导。
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