对数几率回归（逻辑回归）

Jennifer ·

更新时间:2024-09-21

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文章目录一、对数几率和对数几率回归二、Sigmoid函数三、极大似然法四、梯度下降法四、Python实现 一、对数几率和对数几率回归

在对数几率回归中，我们将样本的模型输出y∗y^*y∗定义为样本为正例的概率，将y∗1−y∗\frac{y^*}{1-y^*}1−y∗y∗定义为几率（odds），几率表示的是样本作为正例的相对可能性。将几率取对便可以得到对数几率（log odds，logit）。
logit=log⁡y∗1−y∗logit=\log\frac{y^*}{1-y^*}logit=log1−y∗y∗
而对数几率回归（Logistic Regression）则试图从样本集中学得模型wTxw^TxwTx并使其逼近该样本的对数几率，从而可以得到：
condition1:wTx=log⁡y∗1−y∗condition1:w^Tx=\log\frac{y^*}{1-y^*}condition1:wTx=log1−y∗y∗

二、Sigmoid函数

通过求解conditoin1conditoin1conditoin1可以得到：
y∗=ewTx1+ewTx=11+e−wTxy^*=\frac{e^{w^Tx}}{1+e^{w^Tx}}=\frac{1}{1+e^{-w^Tx}}y∗=1+ewTxewTx=1+e−wTx1
由此我们可以知道样本xix_ixi为正例的概率可以通过函数g(xi)=h(wTxi)=11+e−wTxg(x_i)=h(w^Tx_i)=\frac{1}{1+e^{-w^Tx}}g(xi)=h(wTxi)=1+e−wTx1来表示。而其中的函数h(z)h(z)h(z)便为Sigmoid函数，其图像如下：

求其导数：
h′(z)=−e−z(1+e−z)2=11+e−z(1−11+e−z)=h(z)(1−h(z))h'(z)=\frac{-e^{-z}}{(1+e^{-z})^2}=\frac{1}{1+e^{-z}}(1-\frac{1}{1+e^{-z}})=h(z)(1-h(z))h′(z)=(1+e−z)2−e−z=1+e−z1(1−1+e−z1)=h(z)(1−h(z))
这是一个很好的性质，有利于简化后面优化模型时的计算。

三、极大似然法

通过前面的推导，可以得到：
P(y=1∣x)=y∗=h(wTx) P(y=0∣x)=1−y∗=1−h(wTx)P(y=1|x)=y^*=h(w^Tx)\,\,\,\,\,\,\,\,P(y=0|x)=1-y^*=1-h(w^Tx)P(y=1∣x)=y∗=h(wTx)P(y=0∣x)=1−y∗=1−h(wTx)
合并两个式子，则有：
P(y∣x)=h(wTx)y(1−h(wTx))1−yP(y|x)=h(w^Tx)^y(1-h(w^Tx))^{1-y}P(y∣x)=h(wTx)y(1−h(wTx))1−y
求出了样本标记的分布律，便可以通过极大似然法来估计分布律中的参数www。先写出极大似然函数：
L(yi∣xi,w)=∏i=1mh(wTxi)yi(1−h(wTxi))1−yiL(y_i|x_i,w)=\prod^{m}_{i=1}h(w^Tx_i)^{y_i}(1-h(w^Tx_i))^{1-{y_i}}L(yi∣xi,w)=i=1∏mh(wTxi)yi(1−h(wTxi))1−yi
对极大似然函数取对可以得到对数似然函数：
l(yi∣xi,w)=log(L)=∑i=1m(yilog⁡h(wTxi)+(1−yi)log(1−h(wTxi)))l(y_i|x_i,w)=log(L)=\sum^{m}_{i=1}{(y_i\log h(w^Tx_i)+(1-y_i)log(1-h(w^Tx_i)))}l(yi∣xi,w)=log(L)=i=1∑m(yilogh(wTxi)+(1−yi)log(1−h(wTxi)))
在前面乘上负数因子便可以得到对数几率回归的代价函数：
J(w)=−1m∑i=1m(yilog⁡h(wTxi)+(1−yi)log(1−h(wTxi)))J(w)=-\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}{(y_i\log h(w^Tx_i)+(1-y_i)log(1-h(w^Tx_i)))}J(w)=−m1i=1∑m(yilogh(wTxi)+(1−yi)log(1−h(wTxi)))
通过最小化上述代价函数便可以估计出参数www的值。

四、梯度下降法

通过上述步骤，优化对数几率回归模型的关键变成了求解：
w=arg min⁡J(w)=arg min⁡−1m∑i=1m(yilog⁡h(wTxi)+(1−yi)log(1−h(wTxi)))w=\argmin J(w)=\argmin -\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}{(y_i\log h(w^Tx_i)+(1-y_i)log(1-h(w^Tx_i)))}w=argminJ(w)=argmin−m1i=1∑m(yilogh(wTxi)+(1−yi)log(1−h(wTxi)))
在《线性回归：梯度下降法优化》中，我已经详细介绍了梯度下降法的数学原理，这里直接使用梯度下降法来对对数几率回归模型进行优化。
对J(w)J(w)J(w)进行求导：
∂J∂w=−1m∑i=1m(yi(1−h(wTxi))xi+(yi−1)h(wTxi)xi)=−1m∑i=1m(yi−h(wTxi))xi\frac{\partial J}{\partial w}=-\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}(y_i(1-h(w^Tx_i))x_i+(y_i-1)h(w^Tx_i)x_i)=-\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}{(y_i-h(w^Tx_i))x_i}∂w∂J=−m1i=1∑m(yi(1−h(wTxi))xi+(yi−1)h(wTxi)xi)=−m1i=1∑m(yi−h(wTxi))xi
将∂J∂w\frac{\partial J}{\partial w}∂w∂J带入参数www的更新公式w∗=w−η∂J∂ww^*=w-\eta\frac{\partial J}{\partial w}w∗=w−η∂w∂J，最终得到www的更新公式如下：
w∗=w+ηm∑i=1m(yi−h(wTxi))xiw^*=w+\frac{\eta}{m}\sum^{m}_{i=1}{(y_i-h(w^Tx_i))x_i}w∗=w+mηi=1∑m(yi−h(wTxi))xi

四、Python实现

梯度下降优化算法：

    def fit(self, X, y):
        self.W = np.zeros(X.shape[1] + 1)
        for i in range(self.max_iter):
            delta = self._activation(self._linear_func(X)) - y
            self.W[0] -= self.eta * delta.sum()
            self.W[1:] -= self.eta * (delta @ X)
        return self

导入鸢尾花数据集进行测试：

if __name__ == "__main__":
    from sklearn import datasets
    from sklearn.model_selection import train_test_split
    from sklearn.metrics import classification_report
    irirs = datasets.load_iris()
    X = irirs["data"][:100]
    y = irirs["target"][:100]
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, train_size=0.7, test_size=0.3)
    classifier = LRClassifier().fit(X_train, y_train)
    y_pred = classifier.predict(X_test)
    print(classification_report(y_test, y_pred))

分类报告如下：