【线代笔记】2.4 Rules for Matrix Operations - 矩阵运算规则
一个矩阵如果有m行n列，那它就是一个m×nm\times nm×n矩阵
当两个矩阵形状相同的时候，就能够被相加。矩阵也能够被任意常数c所乘
[123400]+[224499]=[347899] and 2[123400]=[246800]
\left[\begin{array}{ll}
{1} & {2} \\
{3} & {4} \\
{0} & {0}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}
{2} & {2} \\
{4} & {4} \\
{9} & {9}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
{3} & {4} \\
{7} & {8} \\
{9} & {9}
\end{array}\right]\quad \text { and } \quad 2\left[\begin{array}{ll}
{1} & {2} \\
{3} & {4} \\
{0} & {0}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
{2} & {4} \\
{6} & {8} \\
{0} & {0}
\end{array}\right]
⎣⎡130240⎦⎤+⎣⎡249249⎦⎤=⎣⎡379489⎦⎤ and 2⎣⎡130240⎦⎤=⎣⎡260480⎦⎤
矩阵A与B的相乘总共可以用四种方式来表达，前提都是——A的列的数量等于B的行的数量
(m×n)(n×p)=(m×p)
(m \times n)(n \times p) = (m \times p)
(m×n)(n×p)=(m×p)
第一种表达方式，取A的每一行与B的每一列的点积。即AB的第i行第j列的项为
(row i of A)⋅(column j of B)
(\text{row} \ i \ \text{of} \ \mathbf{A}) \cdot (\text{column} \ j \ \text{of} \ \mathbf{B})
(row i of A)⋅(column j of B)
举个例子(4×5)(5×6)=(4×6)(4 \times 5)(5 \times 6) = (4 \times 6)(4×5)(5×6)=(4×6)
[∗ai1ai2⋯ai5∗∗][∗∗b1j∗∗b2j⋮b5j]=[∗∗∗(AB)ij∗∗∗∗∗]
\left[\begin{array}{ccc}
{*} & {} & {} \\
{a_{i 1}} & {a_{i 2}} & {\cdots} & {a_{i 5}} \\
{*} & {} & {} \\
{*} & {} & {}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}
{*} & {*} & {b_{1 j}} & {*} & {*} \\
{} & {} & {b_{2 j}} & {} \\
{} & {} & {\vdots} & {} \\
{} & {} & {b_{5 j}} & {}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}
{} & {} & {\quad *} & {} \\
{*} & {*} & {(A B)_{i j}} & {*} & {*} & {*} \\
{} & {} & {\quad *} & {} & {} \\
{} & {} & {\quad *} & {} & {}
\end{array}\right]
⎣⎢⎢⎡∗ai1∗∗ai2⋯ai5⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡∗∗b1jb2j⋮b5j∗∗⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡∗∗∗(AB)ij∗∗∗∗∗⎦⎥⎥⎤
如果A与B都是n×nn \times nn×n的矩阵，那结果中就包含了n2个点积，也就是总共有n3次乘法运算
The Second and Third Ways: Rows and Columns - 行与列的表达 1、矩阵A乘上矩阵B的每一列在这一种方式的理解下，相当于把B中的各列都看作是单独的向量，矩阵A乘上向量的结果还是一个向量
代表了AB中的每一列都是矩阵A中列的线性组合，系数就是对应的矩阵B中的「向量」
假设B的第一列为（1,2,3），那代表的就是矩阵A的第一列加上两倍的第二列加上三倍的第三列
求和结果即为矩阵AB中的第一列，以此类推
A[b1⋯bp]=[Ab1⋯Abp]
A\begin{bmatrix}b_1 & \cdots &b_p\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}Ab_1 & \cdots &Ab_p\end{bmatrix}
A[b1⋯bp]=[Ab1⋯Abp]
在这一种方式的理解下，矩阵AB的每一行都是矩阵B中各行的线性组合
[row i of A][123456789]=[row i of AB]
\begin{bmatrix}\text{row} \ i \ \text{of} \ A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\text{row} \ i \ \text{of} \ AB\end{bmatrix}
[row i of A]⎣⎡147258369⎦⎤=[row i of AB]
假设A的第一行为[ 1 2 3 ]，那代表的就是矩阵B的第一行加上两倍的第二行加上三倍的第三行
求和结果即为矩阵AB中的第一行，以此类推
The Fourth Way: Columns Multiply Rows - 列与行的积的表达这一种方式是A中的列乘上B中的对应的行，结果为一个矩阵。以3×33 \times 33×3矩阵为例
例如第一列乘上第一行，第二列乘上第二行……都各自得到一个矩阵
各个矩阵求和结果即为矩阵AB
[col 1col 2col 3⋅⋅⋅⋅⋅⋅][row 1⋅⋅row 2⋅⋅row 3⋅⋅]=(col 1)(row 1)+(col 2)(row 2)+(col 3)(row 3)
\begin{bmatrix}\mathbf{col \ 1} & \mathbf{col \ 2} &\mathbf{col \ 3} \\\cdot & \cdot & \cdot \\\cdot & \cdot & \cdot\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{row \ 1} & \cdot & \cdot \\\mathbf{row \ 2} & \cdot & \cdot \\\mathbf{row \ 3} & \cdot & \cdot\end{bmatrix}=(\mathbf{col \ 1})(\mathbf{row \ 1})+(\mathbf{col \ 2})(\mathbf{row \ 2})+(\mathbf{col \ 3})(\mathbf{row \ 3})
⎣⎡col 1⋅⋅col 2⋅⋅col 3⋅⋅⎦⎤⎣⎡row 1row 2row 3⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎦⎤=(col 1)(row 1)+(col 2)(row 2)+(col 3)(row 3)
加法法则
交换律
A+B=B+A
A+B=B+A
A+B=B+A
分配率
c(A+B)=cA+cB
c(A+B)=cA+cB
c(A+B)=cA+cB
结合律
A+(B+C)=(A+B)+C
A+(B+C)=(A+B)+C
A+(B+C)=(A+B)+C
乘法法则
分配率
A(B+C)=AB+AC
A(B+C)=AB+AC
A(B+C)=AB+AC
结合律
A(BC)=(AB)C
A(BC)=(AB)C
A(BC)=(AB)C
在此基础上延伸，又有
Ap=AAA⋯A(p factors )(Ap)(Aq)=Ap+q(Ap)q=Apq
A^{p}=A A A \cdots A(p \text { factors }) \quad\left(A^{p}\right)\left(A^{q}\right)=A^{p+q} \quad\left(A^{p}\right)^{q}=A^{p q}
Ap=AAA⋯A(p factors )(Ap)(Aq)=Ap+q(Ap)q=Apq
交换律不成立
AB≠BA
AB\neq BA
AB=BA
当矩阵被分成块时，能够更简单的去理解它的特点和性质
矩阵能够被分块，例如4,6的矩阵能够被分成一个个2,2的小矩阵
A=[101010010101101010010101]=[IIIIII]
A=\left[\begin{array}{cc|cc|cc}{1} & {0} & {1} & {0} & {1} & {0} \\{0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {1} \\\hline 1 & {0} & {1} & {0} & {1} & {0} \\{0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}{I} & {I} & {I} \\{I} & {I} & {I}\end{array}\right]
A=⎣⎢⎢⎡101001011010010110100101⎦⎥⎥⎤=[IIIIII]
分块矩阵的乘法同原矩阵一致
[A11A12A21A22][B11B21]=[A11B11+A12B21A21B11+A22B21]
\left[\begin{array}{ll}{A_{11}} & {A_{12}} \\{A_{21}} & {A_{22}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{B_{11}} \\{B_{21}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{A_{11} B_{11}+A_{12} B_{21}} \\{A_{21} B_{11}+A_{22} B_{21}}\end{array}\right]
[A11A21A12A22][B11B21]=[A11B11+A12B21A21B11+A22B21]
分块矩阵的消元也是一致的
[I0−CA−1I][ABCD]=[AB0D−CA−1B]
\left[\begin{array}{c|c}{I} & {\mathbf{0}} \\\hline-C A^{-1} & {I}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c|c}{A} & {B} \\\hline C & {D}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c}{A} & {B} \\\hline \mathbf{0} & \mathbf{{D-C A^{-1} B}}\end{array}\right]
[I−CA−10I][ACBD]=[A0BD−CA−1B]
总结：本节介绍了矩阵乘法的四种理解与计算方式，分别都有自己应用的场景；矩阵运算的加法法则和乘法法则；将矩阵分块后的运算
作者：沉默的溪
