AI之多层感知机
深度学习主要关注多层模型。在这里，我们将以多层感知机（multilayer perceptron，MLP）为例，介绍多层神经网络的概念。
隐藏层下图展示了一个多层感知机的神经网络图，它含有一个隐藏层，该层中有5个隐藏单元。
具体来说，给定一个小批量样本X∈Rn×d\pmb{X}∈\pmb{R}^{n×d}XXX∈RRRn×d，其批量大小为n，输入个数为d。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为h。记隐藏层的输出（也称为隐藏层变量或隐藏变量）为H，有H∈Rn×h\pmb{H}∈\pmb{R}^{n×h}HHH∈RRRn×h。因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为Wh∈Rd×h\pmb{W}_h∈\pmb{R}^{d×h}WWWh∈RRRd×h和bh∈R1×h\pmb{b}_h∈\pmb{R}^{1×h}bbbh∈RRR1×h，输出层的权重和偏差参数分别为Wo∈Rh×q\pmb{W}_o∈\pmb{R}^{h×q}WWWo∈RRRh×q和bo∈R1×q\pmb{b}_o∈\pmb{R}^{1×q}bbbo∈RRR1×q。
我们先来看一种含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出O∈Rn×qO∈R^{n×q}O∈Rn×q的计算为
H=XWh+bh,O=HWo+bo\pmb{H=XW}_h+\pmb{b}_h,\pmb{O=HW}_o+\pmb{b}_oH=XWH=XWH=XWh+bbbh,O=HWO=HWO=HWo+bbbo
也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来，可以得到
O=(XWh+bh)Wo+bo=XWhWo+bhWo+bo\pmb{O=(XW}_h+\pmb{b}_h)\pmb{W}_o+\pmb{b}_o=\pmb{XW}_h\pmb{W}_o+\pmb{b}_h\pmb{W}_o+\pmb{b}_oO=(XWO=(XWO=(XWh+bbbh)WWWo+bbbo=XWXWXWhWWWo+bbbhWWWo+bbbo
从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为WhWo\pmb{W}_h\pmb{W}_oWWWhWWWo，偏差参数为bhWo+bo\pmb{b}_h\pmb{W}_o+\pmb{b}_obbbhWWWo+bbbo。不难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。
上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。
下面我们介绍几个常用的激活函数：
ReLU（rectified linear unit）函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素x，该函数定义为
ReLU(x)=max(x,0).ReLU(x)=max(x,0).ReLU(x)=max(x,0).
可以看出，ReLU函数只保留正数元素，并将负数元素清零。为了直观地观察这一非线性变换，我们先定义一个绘图函数xyplot。
%matplotlib inline
import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l
print(torch.__version__)
def xyplot(x_vals, y_vals, name):
# d2l.set_figsize(figsize=(5, 2.5))
plt.plot(x_vals.detach().numpy(), y_vals.detach().numpy())
plt.xlabel('x')
plt.ylabel(name + '(x)')
x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True)
y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')
Sigmoid函数
sigmoid函数可以将元素的值变换到0和1之间：
sigmoid(x)=11+exp(−x).sigmoid(x)=\frac{1}{1+exp(−x)}.sigmoid(x)=1+exp(−x)1.
y = x.sigmoid()
xyplot(x, y, 'sigmoid')
依据链式法则，sigmoid函数的导数
sigmoid′(x)=sigmoid(x)(1−sigmoid(x)).sigmoid^′(x)=sigmoid(x)(1−sigmoid(x)).sigmoid′(x)=sigmoid(x)(1−sigmoid(x)).
下面绘制了sigmoid函数的导数。当输入为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25；当输入越偏离0时，sigmoid函数的导数越接近0。
x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of sigmoid')
tanh函数
tanh（双曲正切）函数可以将元素的值变换到-1和1之间：
tanh(x)=1−exp(−2x)1+exp(−2x).tanh(x)=\frac{1−exp(−2x)}{1+exp(−2x)}.tanh(x)=1+exp(−2x)1−exp(−2x).
我们接着绘制tanh函数。当输入接近0时，tanh函数接近线性变换。虽然该函数的形状和sigmoid函数的形状很像，但tanh函数在坐标系的原点上对称。
y = x.tanh()
xyplot(x, y, 'tanh')
依据链式法则，tanh函数的导数
tanh′(x)=1−tanh2(x).tanh^′(x)=1−tanh^2(x).tanh′(x)=1−tanh2(x).
下面绘制了tanh函数的导数。当输入为0时，tanh函数的导数达到最大值1；当输入越偏离0时，tanh函数的导数越接近0。
x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')
关于激活函数的选择
ReLu函数是一个通用的激活函数，目前在大多数情况下使用。但是，ReLU函数只能在隐藏层中使用。
用于分类器时，sigmoid函数及其组合通常效果更好。由于梯度消失问题，有时要避免使用sigmoid和tanh函数。
在神经网络层数较多的时候，最好使用ReLu函数，ReLu函数比较简单计算量少，而sigmoid和tanh函数计算量大很多。
在选择激活函数的时候可以先选用ReLu函数如果效果不理想可以尝试其他激活函数。
多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿用本节之前定义的符号，多层感知机按以下方式计算输出：
H=ϕ(XWh+bh),O=HWo+bo,\pmb{H}=ϕ(\pmb{XW}_h+\pmb{b}_h),\pmb{O=HW}_o+\pmb{b}_o,HHH=ϕ(XWXWXWh+bbbh),O=HWO=HWO=HWo+bbbo,
其中ϕ表示激活函数。
多层感知机从零开始的实现import torch
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l
print(torch.__version__)
获取训练集
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,root='/home/kesci/input/FashionMNIST2065')
定义模型参数
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256
W1 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_inputs, num_hiddens)), dtype=torch.float)
b1 = torch.zeros(num_hiddens, dtype=torch.float)
W2 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_hiddens, num_outputs)), dtype=torch.float)
b2 = torch.zeros(num_outputs, dtype=torch.float)
params = [W1, b1, W2, b2]
for param in params:
param.requires_grad_(requires_grad=True)
定义激活函数
def relu(X):
return torch.max(input=X, other=torch.tensor(0.0))
定义网络
def net(X):
X = X.view((-1, num_inputs))
H = relu(torch.matmul(X, W1) + b1)
return torch.matmul(H, W2) + b2
定义损失函数
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()
训练
num_epochs, lr = 5, 100.0
# def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size,
# params=None, lr=None, optimizer=None):
# for epoch in range(num_epochs):
# train_l_sum, train_acc_sum, n = 0.0, 0.0, 0
# for X, y in train_iter:
# y_hat = net(X)
# l = loss(y_hat, y).sum()
#
# # 梯度清零
# if optimizer is not None:
# optimizer.zero_grad()
# elif params is not None and params[0].grad is not None:
# for param in params:
# param.grad.data.zero_()
#
# l.backward()
# if optimizer is None:
# d2l.sgd(params, lr, batch_size)
# else:
# optimizer.step() # “softmax回归的简洁实现”一节将用到
#
#
# train_l_sum += l.item()
# train_acc_sum += (y_hat.argmax(dim=1) == y).sum().item()
# n += y.shape[0]
# test_acc = evaluate_accuracy(test_iter, net)
# print('epoch %d, loss %.4f, train acc %.3f, test acc %.3f'
# % (epoch + 1, train_l_sum / n, train_acc_sum / n, test_acc))
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, params, lr)
多层感知机pytorch实现
import torch
from torch import nn
from torch.nn import init
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l
print(torch.__version__)
初始化模型和各个参数
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256
net = nn.Sequential(
d2l.FlattenLayer(),
nn.Linear(num_inputs, num_hiddens),
nn.ReLU(),
nn.Linear(num_hiddens, num_outputs),
)
for params in net.parameters():
init.normal_(params, mean=0, std=0.01)
训练
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,root='/home/kesci/input/FashionMNIST2065')
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)
num_epochs = 5
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, None, None, optimizer)
作者：zhangbin_0719
