线性代数初探（行列式，矩阵初等变换，矩阵的秩）
引言：边听网课边看线性代数，爽！
线代太好玩了，鉴于博主的老年记忆，赶紧记录下来
本文主要介绍行列式的一些性质与应用，还有矩阵的一些运算
大概是《线性代数》的精简版外加一些自己的理解
行列式的定义：
令 ppp 为 1,2,...,n1,2,...,n1,2,...,n 的一个排列，排列中的逆序对个数为 ttt，那么行列式为
∑(−1)tai,p1a2,p2...an,pn\sum(-1)^ta_{i,p_1}a_{2,p_2}...a_{n,p_n}∑(−1)tai,p1a2,p2...an,pn
引理1：交换排列中的任意两个数 pi,pjp_i,p_jpi,pj，逆序对个数奇偶性改变
证明：相邻的时候显然会改变，不相邻的时候假设中间有 mmm 个数，需要用 mmm 次换过去再用 m−1m-1m−1 次换回来，得证。
行列式的性质：
记
D=∣a1,1a1,2...a1,na2,1a2,2...a2,n............an,1an,2...an,n∣,DT=∣a1,1a2,1...an,1a1,2a2,2...an,2............a1,na2,n...an,n∣D=\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ...& a_{2,n}\\ ... & ...& ... &... \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n}\end{vmatrix},D^T=\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{2,1} & ... & a_{n,1} \\ a_{1,2} & a_{2,2} & ...& a_{n,2}\\ ... & ...& ... &... \\ a_{1,n} & a_{2,n} & ... & a_{n,n}\end{vmatrix}D=∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1a2,1...an,1a1,2a2,2...an,2............a1,na2,n...an,n∣∣∣∣∣∣∣∣,DT=∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1a1,2...a1,na2,1a2,2...a2,n............an,1an,2...an,n∣∣∣∣∣∣∣∣
其中 DTD^TDT 为 行列式DDD 的转置行列式。
性质1：DT=DD^T=DDT=D。
对于 DDD 中的任意一项，(−1)ta1,p1a2,p2...ai,pi...aj,pj...an,pn(-1)^ta_{1,p_1}a_{2,p_2}...a_{i,p_i}...a_{j,p_j}...a_{n,p_n}(−1)ta1,p1a2,p2...ai,pi...aj,pj...an,pn，交换 ai,pi,aj,pja_{i,p_i},a_{j,p_j}ai,pi,aj,pj，意义是行标排列和列标排列做了一次相应的对换，注意到这个过程并不改变奇偶性，于是我们可以找到 DTD^TDT 中的唯一一项 (−1)t′aq1,1aq2,2...aqn,n(-1)^{t'}a_{q_1,1}a_{q_2,2}...a_{q_n,n}(−1)t′aq1,1aq2,2...aqn,n 与之相等，只需要考虑每次把第 iii 换到第 qiq_iqi 项即可。
性质2：对换行列式中的两行或两列，行列式变号。
考虑某一项 (−1)ta1,p1a2,p2...ai,pi...aj,pj...an,pn(-1)^ta_{1,p_1}a_{2,p_2}...a_{i,p_i}...a_{j,p_j}...a_{n,p_n}(−1)ta1,p1a2,p2...ai,pi...aj,pj...an,pn，变成 (−1)t′a1,p1a2,p2...ai,pj...aj,pi...an,pn(-1)^{t'}a_{1,p_1}a_{2,p_2}...a_{i,p_j}...a_{j,p_i}...a_{n,p_n}(−1)t′a1,p1a2,p2...ai,pj...aj,pi...an,pn 逆序对个数改变奇偶性于是 (−1)t′=−(−1)t(-1)^{t'}=-(-1)^t(−1)t′=−(−1)t，得证。
推论：两行或两列相同行列式为 0
性质3：行列式中某一行或一列乘上一个数 kkk 的行列式等于用 kkk 乘上这个行列式
性质4：若行列式的某一行或列都是两数的和，那么可以拆成两个行列式的和
推论：把某一行或列的每个元素乘上 kkk 加到令一行行列式不变
行列式按行（列）展开
在 nnn 阶行列式中，把 (i,j)(i,j)(i,j) 元 ai,ja_{i,j}ai,j 的第 iii 行和第 jjj 列划去留下的 n−1n-1n−1 阶行列式叫做 (i,j)(i,j)(i,j)元 ai,ja_{i,j}ai,j 的余子式，记为 Mi,jM_{i,j}Mi,j，记 Ai,j=(−1)i+jMi,jA_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}Ai,j=(−1)i+jMi,j，叫做 (i,j)(i,j)(i,j)元 ai,ja_{i,j}ai,j 的代数余子式
引理：如果第 iii 行元素除了 ai,ja_{i,j}ai,j 外都为 0 ，那么 D=ai,jAi,jD=a_{i,j}A_{i,j}D=ai,jAi,j
当 i=j=1i=j=1i=j=1 时显然成立，否则我们交换 i−1i-1i−1 次换到第一行，交换 j−1j-1j−1 次换到第一列
定理：行列式等于它任一行（一列）的各元素对应的代数余子式乘积之和
D=∑j=1nai,jAi,jD=\sum_{j=1}^na_{i,j}A_{i,j}D=j=1∑nai,jAi,j
简介：范德蒙得行列式
Dn=∣11...1x1x2...xn............x1nx2n...xnn∣=∏n≥i>j≥1(xi−xj)D_n=\begin{vmatrix} 1&1 & ... & 1 \\ x_1& x_2 & ...& x_n\\ ... & ...& ... &... \\x_1^n &x_2^n & ... &x_n^n\end{vmatrix}=\prod_{n\ge i>j\ge 1}(x_i-x_j)Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣1x1...x1n1x2...x2n............1xn...xnn∣∣∣∣∣∣∣∣=n≥i>j≥1∏(xi−xj)
证明：数学归纳法，当 n=2n=2n=2 时
D2=∣11x1x2∣=x2−x1D_2=\begin{vmatrix} 1&1 \\ x_1& x_2 \end{vmatrix}=x_2-x_1D2=∣∣∣∣1x11x2∣∣∣∣=x2−x1
假设其对 n−1n-1n−1 阶行列式成立，要证其对 nnn 阶成立，我们需要把 nnn 将阶（展开）
从最后一行开始减掉上一行的 x1x_1x1 倍
Dn=∣11...10x2−x1...xn−x1............0x2n−2(x2−x1)...xnn−2(xn−x1)∣=∏i=2n(xi−x1)∣1...1.........x2n−2...xnn−2∣D_n=\begin{vmatrix} 1&1 & ... & 1 \\ 0& x_2-x_1& ...& x_n-x_1\\ ... & ...& ... &... \\0 &x_2^{n-2}(x_2-x_1) & ... &x_n^{n-2}(x_n-x_1)\end{vmatrix}=\prod_{i=2}^n(x_i-x_1)\begin{vmatrix} 1 & ...& 1\\ ... & ... &... \\x_2^{n-2} & ... &x_n^{n-2}\end{vmatrix}Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣10...01x2−x1...x2n−2(x2−x1)............1xn−x1...xnn−2(xn−x1)∣∣∣∣∣∣∣∣=i=2∏n(xi−x1)∣∣∣∣∣∣1...x2n−2.........1...xnn−2∣∣∣∣∣∣
若要计算 b1Ai,1+b2∗Ai,2+...+bn∗Ai,nb_1A_{i,1}+b_2*A_{i,2}+...+b_n *A_{i,n}b1Ai,1+b2∗Ai,2+...+bn∗Ai,n 那么我们可以把第 iii 行换成 bbb 向量算行列式
正确性显然，这就引发一个推论：当 bbb 取行列式某一行 aja_jaj 时
∑k=1naj,k∗Ai,k={0i≠jDi=j\sum_{k=1}^na_{j,k}*A_{i,k}=\begin{cases}
0& {i\neq j}\\
D& {i=j}
\end{cases}k=1∑naj,k∗Ai,k={0Di=ji=j
这就引出了矩阵中一个特别巧妙的东西 ---- 伴随矩阵
行列式 ∣A∣|A|∣A∣ 的各个元素的代数余子式 Ai,jA_{i,j}Ai,j 构成如下矩阵
A∗=∣A1,1A2,1...An,1A1,2A2,2...An,2............x1,nA2,n...An,n∣A^{*}=\begin{vmatrix} A_{1,1}& A_{2,1} & ... & A_{n,1} \\ A_{1,2}& A_{2,2} & ...& A_{n,2}\\ ... & ...& ... &... \\x_{1,n} &A_{2,n} & ... &A_{n,n}\end{vmatrix}A∗=∣∣∣∣∣∣∣∣A1,1A1,2...x1,nA2,1A2,2...A2,n............An,1An,2...An,n∣∣∣∣∣∣∣∣
称为 AAA 的伴随矩阵，那么根据之前的结论有：
A∗A∗=∣A∣∗EA*A^{*}=|A|*EA∗A∗=∣A∣∗E
矩阵求逆：
引理：∣AB∣=∣A∣∗∣B∣|AB|=|A|*|B|∣AB∣=∣A∣∗∣B∣ 指矩阵 AAA 乘矩阵 BBB 的行列式等于分别的行列式的乘积，证明 n=2n=2n=2 的情况：
设 A=(ai,j),B=(bi,j)A=(a_{i,j}),B=(b_{i,j})A=(ai,j),B=(bi,j)，构造一个四阶行列式：
D=∣a1,1a1,200a2,1a2,200−10b1,1b1,20−1b2,1b2,2∣=∣AO−EB∣D=\begin{vmatrix} a_{1,1}&a_{1,2} & 0& 0 \\ a_{2,1}& a_{2,2} & 0& 0\\ -1 & 0 & b_{1,1}&b_{1,2} \\0 &-1 & b_{2,1} &b_{2,2} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&O\\ -E & B\end{vmatrix}D=∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1a2,1−10a1,2a2,20−100b1,1b2,100b1,2b2,2∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣A−EOB∣∣∣∣
对于一个 nnn 阶矩阵，如果有一个 nnn 阶矩阵 BBB，使 AB=BA=EAB=BA=EAB=BA=E 则称矩阵 AAA 是可逆的，并把 BBB 称为 AAA 的逆矩阵，骚气变换：
设 A=(ai,j),B=(bi,j)A=(a_{i,j}),B=(b_{i,j})A=(ai,j),B=(bi,j)，构造一个四阶行列式：
D=∣a1,1a1,200a2,1a2,200−10b1,1b1,20−1b2,1b2,2∣=∣a1,1a1,2a1,1b1,1+a1,2b2,1a1,1b1,2+a1,2b2,2a2,1a2,2a2,1∗b1,1+a2,2∗b2,1a2,1b1,2+a2,2∗b2,2−10000−100∣D=\begin{vmatrix} a_{1,1}&a_{1,2} & 0& 0 \\ a_{2,1}& a_{2,2} & 0& 0\\ -1 & 0 & b_{1,1}&b_{1,2} \\0 &-1 & b_{2,1} &b_{2,2} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{1,1}&a_{1,2} & a_{1,1}b_{1,1}+a_{1,2}b_{2,1}& a_{1,1}b_{1,2}+a_{1,2}b_{2,2} \\ a_{2,1}& a_{2,2} & a_{2,1}*b_{1,1}+a_{2,2}*b_{2,1}& a_{2,1}b_{1,2}+a_{2,2}*b_{2,2}\\ -1 & 0 & 0&0 \\0 &-1 &0 &0 \end{vmatrix}D=∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1a2,1−10a1,2a2,20−100b1,1b2,100b1,2b2,2∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣a1,1a2,1−10a1,2a2,20−1a1,1b1,1+a1,2b2,1a2,1∗b1,1+a2,2∗b2,100a1,1b1,2+a1,2b2,2a2,1b1,2+a2,2∗b2,200∣∣∣∣∣∣∣∣
=∣AA∗B−EO∣==∣−EOAA∗B∣=A∗B=\begin{vmatrix}A&A*B\\ -E & O\end{vmatrix}==\begin{vmatrix}-E&O\\A&A*B\end{vmatrix}=A*B=∣∣∣∣A−EA∗BO∣∣∣∣==∣∣∣∣−EAOA∗B∣∣∣∣=A∗B
定理1：若矩阵 AAA 可逆，则 ∣A∣≠0|A|\neq 0∣A∣=0
证明：存在 A−1A^{-1}A−1 使得 AA−1=EAA^{-1}=EAA−1=E，故 ∣AA−1∣=∣A∣∗∣A−1∣=∣E∣=1|AA^{-1}|=|A|*|A^{-1}|=|E|=1∣AA−1∣=∣A∣∗∣A−1∣=∣E∣=1 所以 ∣A∣≠0|A|\neq 0∣A∣=0
定理2：若 ∣A∣≠0|A|\neq 0∣A∣=0，则矩阵可逆，且 A−1=1∣A∣∗A∗A^{-1}=\frac{1}{|A|}*A^{*}A−1=∣A∣1∗A∗，妙妙妙！
解线性方程组
(a1,1a1,2...a1,na2,1a2,2....a2,n............an,1an,2...an,n)(x1x2...xn)=(b1b2...bn)\begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1}& a_{2,2} & .... & a_{2,n}\\...& ...& ...&...\\a_{n,1}&a_{n,2}&...&a_{n,n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\...\\x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\...\\b_n \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛a1,1a2,1...an,1a1,2a2,2...an,2.............a1,na2,n...an,n⎠⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎛x1x2...xn⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛b1b2...bn⎠⎟⎟⎞
记为 AX=BAX=BAX=B
克拉默法则：如果 ∣A∣≠0|A|\neq 0∣A∣=0，那么方程组有唯一解
发现 X=A−1B=A∗∣A∣∗BX=A^{-1}B=\frac{A^{*}}{|A|}*BX=A−1B=∣A∣A∗∗B，注意到
xj=1∣A∣∗(b1∗A1,j+b2∗A2,j+...+bnAn,j)=∣Aj∣∣A∣x_j=\frac{1}{|A|}*(b_1*A_{1,j}+b_2*A_{2,j}+...+b_nA_{n,j})=\frac{|A_j|}{|A|}xj=∣A∣1∗(b1∗A1,j+b2∗A2,j+...+bnAn,j)=∣A∣∣Aj∣
其中 AjA_jAj 为将矩阵的第 jjj 列换为 BBB 的矩阵 ，Ai,jA_{i,j}Ai,j 为代数余子式
矩阵初等变换与矩阵求逆看这里
矩阵的秩
定义：在 n×mn\times mn×m 的矩阵 AAA 中，任取 kkk 行 kkk 列不改变次序算出行列式称为矩阵 AAA 的 kkk 阶子式。
引理：设 A∼BA\sim BA∼B，则 AAA 与 BBB 中的非零子式的最高阶数相等。
我们只需证明经过一次初等行变换得到的 BBB，在交换两行或将一行乘 k≠0k\neq 0k=0 时，总能找到与DDD对应的 rrr 阶子式使得 D1=D,D1=−D,D1=kDD_1=D,D_1=-D,D_1=kDD1=D,D1=−D,D1=kD
当一行加上另一行的 k≠0k\neq 0k=0 倍时，只需考虑 r1+kr2r_1+kr_2r1+kr2 的特殊情况：
当 DDD 不包含第一行， 那么不影响，若包涵第一行
D1=∣r1+kr2rp...rq∣=∣r1rp...rq∣+k∗∣r2rp...rq∣=D+k∗D2D_1=\begin{vmatrix} r_1+kr_2 \\r_p\\ ... \\ r_q\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} r_1 \\r_p\\ ... \\ r_q\end{vmatrix}+k*\begin{vmatrix} r_2 \\r_p\\ ... \\ r_q\end{vmatrix}=D+k*D_2D1=∣∣∣∣∣∣∣∣r1+kr2rp...rq∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣r1rp...rq∣∣∣∣∣∣∣∣+k∗∣∣∣∣∣∣∣∣r2rp...rq∣∣∣∣∣∣∣∣=D+k∗D2
若 p=2p=2p=2 则 D2=0D_2=0D2=0，否则 D=D1−k∗D2≠0D=D_1-k*D_2\neq 0D=D1−k∗D2=0，D1,D2D_1,D_2D1,D2 不同为 0
挺妙的
注意这个并没有关系非0子式，而只是关心它的阶数，于是我们定义矩阵的秩：
设在矩阵AAA中有一个不等于0的 rrr 阶子式 DDD，且所有 r+1r+1r+1 阶（若存在）子式均为 0，那么 rrr 称为矩阵的秩，记做 R(A)R(A)R(A)
那么有一些性质：
0≤R(A)≤min{n,m}0\le R(A)\le min\{n,m\}0≤R(A)≤min{n,m}
R(AT)=R(A)R(A^\text{T})=R(A)R(AT)=R(A)
若 A∼BA\sim BA∼B，则 R(A)=R(B)R(A)=R(B)R(A)=R(B)
max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)max\{R(A),R(B)\}\le R(A,B)\le R(A)+R(B)max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)
R(A+B)≤R(A)+R(B)R(A+B)\le R(A)+R(B)R(A+B)≤R(A)+R(B)，证明：
(A+BB)∼(AB)\begin{pmatrix} A+B\\B \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}(A+BB)∼(AB)
故 R(A+B)≤R(A+BB)=R(AB)=R(AT,BT)T=≤R(AT)+R(BT)=R(A)+R(B)R(A+B)\le R\begin{pmatrix} A+B\\B \end{pmatrix}=R\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}=R(A^{T},B^{T})^T=\le R(A^T)+R(B^T)=R(A)+R(B)R(A+B)≤R(A+BB)=R(AB)=R(AT,BT)T=≤R(AT)+R(BT)=R(A)+R(B)
当矩阵的秩与线性方程组联系在一起就厉害得不行
对于 nnn 元线性方程组 Ax=bAx=bAx=b
(1) 无解的充分必要条件是 R(A)<R(A,b)R(A)<R(A,b)R(A)<R(A,b)
(2) 有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)=nR(A)=R(A,b)=nR(A)=R(A,b)=n
(3) 有无限多解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)<nR(A)=R(A,b)<nR(A)=R(A,b)<n
证明略且较为显然。
定理：矩阵方程 AX=BAX=BAX=B 有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,B)R(A)=R(A,B)R(A)=R(A,B)
证明：设 AAA 为 m×nm\times nm×n 矩阵，BBB 为 m×lm\times lm×l 矩阵，则 XXX 为 n×ln\times ln×l 矩阵，将 X,BX,BX,B 按列分块，记为：
X=(x1,x2,...,xl),B=(b1,b2,...,bl)X=(x_1,x_2,...,x_l),B=(b_1,b_2,...,b_l)X=(x1,x2,...,xl),B=(b1,b2,...,bl)
则矩阵方程 AX=BAX=BAX=B 等价于 lll 个向量方程
Axi=bi(i=1,2,...,l)Ax_i=b_i(i=1,2,...,l)Axi=bi(i=1,2,...,l)
如果 R(A)=rR(A)=rR(A)=r，那么 b~i\widetilde b_ibi 的后 m−rm-rm−r 行为 0，那么容易发现当有解时 BBB 的后 m−rm-rm−r 行一定为 0，故 R(A,B)=r=R(A)R(A,B)=r=R(A)R(A,B)=r=R(A)
定理： R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(AB)\le min\{R(A),R(B)\}R(AB)≤min{R(A),R(B)}
即矩阵方程 AX=CAX=CAX=C 有解 X=BX=BX=B，于是有 R(C)≤R(A,C)=R(A)R(C)\le R(A,C)=R(A)R(C)≤R(A,C)=R(A)
同理有 R(CT)≤R(BT)R(C^T)\le R(B^T)R(CT)≤R(BT)，故 R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(AB)\le min\{R(A),R(B)\}R(AB)≤min{R(A),R(B)}
向量內积·
记做 [x⃗,y⃗]=∑ixiyi[\vec x,\vec y]=\sum_{i}x_iy_i[x,y]=∑ixiyi，向量正交定义为 [x⃗,y⃗]=0[\vec x,\vec y]=0[x,y]=0
定理：若 nnn 维向量 a1,a2,⋯ ,ara_1,a_2,\cdots,a_ra1,a2,⋯,ar 是一组两两正交的向量，则 a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_na1,a2,⋯,an 线性无关
证明：设有 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn 使
λ1a1+λ2a2+⋯+λrar=0\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots+\lambda_ra_r=0λ1a1+λ2a2+⋯+λrar=0
将 a1a_1a1 与上式两端作內积，故有 λ1[a1,a1]=0⇒λ1=0\lambda_1[a_1,a_1]=0\Rightarrow \lambda_1=0λ1[a1,a1]=0⇒λ1=0，故 λi=0\lambda_i=0λi=0，a1,a2,⋯ ,ara_1,a_2,\cdots,a_ra1,a2,⋯,ar 线性无关
向量正交化
这个构造个人觉得很巧妙，我们现在需要将 a1,a2,⋯ ,ara_1,a_2,\cdots,a_ra1,a2,⋯,ar 正交化为 b1,b2,⋯ ,brb_1,b_2,\cdots,b_rb1,b2,⋯,br
那么我们构造出一组 bbb 使得 ∀i≠j∈[1,r−1],[ai,aj]=0\forall i\neq j\in[1,r-1],[a_i,a_j]=0∀i=j∈[1,r−1],[ai,aj]=0，然后构造 brb_rbr 满足与前 r−1r-1r−1 项內积为 0，那么有：
b1=a1b2=a2−[b1,a2][b1,b1]b1⋮br=ar−[b1,ar][b1,b1]b1−[b2,ar][b2,b2]b2−⋯−[br−1,ar][br−1,br−1]br−1b_1=a_1\\ b_2=a_2-\frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1\\ \vdots\\b_r=a_r-\frac{[b_1,a_r]}{[b_1,b_1]}b_1-\frac{[b_2,a_r]}{[b_2,b_2]}b_2-\cdots -\frac{[b_{r-1},a_r]}{[b_{r-1},b_{r-1}]}b_{r-1}b1=a1b2=a2−[b1,b1][b1,a2]b1⋮br=ar−[b1,b1][b1,ar]b1−[b2,b2][b2,ar]b2−⋯−[br−1,br−1][br−1,ar]br−1
把 bib_ibi 变成单位长度就可以得到标准正交基
定义：正交矩阵
若 AAA 满足 ATA=EA^{\text{T}}A=EATA=E，则 AAA 为正交矩阵，同时有 A−1=ATA^{-1}=A^{\text{T}}A−1=AT
特征多项式的一套理论可以看这里 here
相似矩阵：定义：设 A,BA,BA,B 均为 nnn 阶矩阵，若有可逆矩阵 PPP 使 P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B ，则成 BBB 是 AAA 的相似矩阵
定理：若 nnn 阶矩阵 A,BA,BA,B 相似，则 AAA 与 BBB 的特征多项式相同
∣B−λE∣=∣P−1AP−P−1(λE)P∣=∣P−1(A−λE)P∣=∣P−1∣∣A−λE∣∣P∣=∣A−λE∣|B-\lambda E|=|P^{-1}AP-P^{-1}(\lambda E)P|=\\|P^{-1}(A-\lambda E)P|=|P^{-1}||A-\lambda E||P|=|A-\lambda E|∣B−λE∣=∣P−1AP−P−1(λE)P∣=∣P−1(A−λE)P∣=∣P−1∣∣A−λE∣∣P∣=∣A−λE∣
我们发现，AAA 是可以与如下矩阵相似的
Λ=(λ1λ2⋱λn)\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1\\ & \lambda_2\\ &&\ddots \\&&&&\lambda_n\end{pmatrix}Λ=⎝⎜⎜⎛λ1λ2⋱λn⎠⎟⎟⎞
其中 λi\lambda_iλi 为矩阵的特征值
如果我们要求 AnA^nAn 或是 φ(A)\varphi(A)φ(A)，这个等价于 (PΛP−1)n=PΛnP−1(P\Lambda P^{-1})^n=P\Lambda^nP^{-1}(PΛP−1)n=PΛnP−1
如何找到 PPP 满足 P−1AP=ΛP^{-1}AP=\LambdaP−1AP=Λ 为对角矩阵？
我们有 AP=PΛAP=P\LambdaAP=PΛ
发现 Api=λipiAp_i=\lambda_ip_iApi=λipi 即 pip_ipi 特征值 λi\lambda_iλi 对应的特征向量
作者：FSYo
