Python基于链接表实现无向图最短路径搜索

Samira ·
更新时间:2024-11-13
· 813 次阅读

目录

前言

1. 链接表

2. 最短路径算法

2.1 无向图最短路径算法

3. 总结

前言

图的常用存储方式有 2 种:

邻接炬阵

链接表

邻接炬阵的优点和缺点都很明显。优点是简单、易理解,对于大部分图结构而言,都是稀疏的,使用炬阵存储空间浪费就较大。

链接表的存储相比较邻接炬阵,使用起来更方便,对于空间的使用是刚好够用原则,不会产生太多空间浪费。操作起来,也是简单。

本文将以链接表方式存储图结构,在此基础上实现无向图最短路径搜索。

1. 链接表

链接表的存储思路:

使用链接表实现图的存储时,有主表子表概念。

主表: 用来存储图对象中的所有顶点数据。

子表: 每一个顶点自身会维护一个子表,用来存储与其相邻的所有顶点数据。

如下图结构中有 5 个顶点,使用链接表保存时,会有主表 1 张,子表 5 张。链接表的优点是能够紧凑地表示稀疏图。

在 Python 中可以使用列表嵌套实现链接表,这应该是最简单的表达方式。

g = [ ['A0', [('B1', 3), ('D3', 5)]], ['B1', [('C2', 4)]], ['C2', [('D3', 6), ('E4', 1)]], ['D3', [('E4', 2)]], ['E4', [('B1', 7)]], ]

在此基础上,可以做一些简单的常规操作。

查询所有顶点:

for node in g: print(node[0],end=' ')

查询顶点及其相邻顶点

for node in g: print('-------------------') print(node[0], ":", end='') edges = node[1] for e in edges: v, w = e print(v, w, end=';') print()

当顶点和相邻顶点之间的关系很复杂时,这种层层嵌套的存储格式会让人眼花缭乱。即使要使用这种嵌套方式,那也应该选择 Python 中的字典类型,对于查询会方便很多。

g = { 'A0':{'B1': 3, 'D3': 5}, 'B1': {'C2': 4}, 'C2': {'D3': 6, 'E4': 1}, 'D3': {'E4':2}, 'E4': {'B1': 7} }

如上结构,在查询时,无论是方便性还是性能,都要强于完全的列表方案。

查询所有顶点:

for node in g.keys(): print(node,end=" ")

查询与某一顶点相邻的顶点时,只需要提供顶点名称就可以了。

print("查询与 A0 项点有连接的其它顶点") for k, v in g.get('A0').items(): print((k, v), end=";")

以上的存储方案,适合于演示,并不适合于开发环境,因顶点本身是具有特定的数据含义(如,可能是城市、公交车站、网址、路由器……),且以上存储方案让顶点和其相邻顶点的信息过度耦合,在实际运用时,会牵一发而动全身。

也许一个微不足道的修改,会波动到整个结构的更新。

所以,有必要引于 OOP 设计理念,让顶点和图有各自特定数据结构,通过 2 种类类型可以更好地体现图是顶点的集合,顶点和顶点之间的多对多关系。

项点类:

class Vertex: def __init__(self, name, v_id=0): # 顶点的编号 self.v_id = v_id # 顶点的名称 self.v_name = name # 是否被访问过:False 没有 True:有 self.visited = False # 与此顶点相连接的其它顶点 self.connected_to = {}

顶点类结构说明:

visited:用于搜索路径算法中,检查节点是否已经被搜索过。

connected_to:存储与项点相邻的顶点信息。这里使用了字典,以顶点为键,权重为值。

图类:

class Graph: def __init__(self): # 一维列表,保存节点 self.vert_list = {} # 顶点个数 self.v_nums = 0 # 使用队列模拟队列或栈,用于路径搜索算法 self.queue_stack = [] # 保存搜索到的路径 self.searchPath = []

图类结构说明:

queue_stack:使用队列模拟栈或队列。用于路径搜索过程中保存临时数据。

怎么使用列表模拟队列或栈?

列表有 append()pop() 2 个很价值的方法。

append() 用来向列表中添加数据,且每次都是从列表最后面添加。

pop() 默认从列表最后面删除且弹出数据, pop(参数) 可以提供索引值用来从指定位置删除且弹出数据。

使用 append() 和 pop() 方法就能模拟栈,从同一个地方进出数据。

使用 append() 和 pop(0) 方法就能模拟队列,从后面添加数据,从最前面获取数据

searchPath:用于保存搜索到的路径数据。

2. 最短路径算法

从图结构可知,从一个顶点到达另一个顶点,可不止一条可行路径,在众多路径我们总是试图选择一条最短路径,当然,需求不同,衡量一个路径是不是最短路径的标准也会不同。

如打开导航系统后,最短路径可能是费用最少的那条,可能是速度最快的那条,也可能是量程数最少的或者是红绿灯是最少的……

在无向图中,以经过的边数最少的路径为最短路径。

在有向加权图中,会以附加在每条边上的权重的数据含义来衡量。权重可以是时间、速度、量程数……

2.1 无向图最短路径算法

查找无向图中任意两个顶点间的最短路径长度,可以直接使用广度搜索算法。如下图求解 A0 ~ F5 的最短路径。

Tips: 无向图中任意 2 个顶点间的最短路径长度由边数决定。

广度优先搜索算法流程:

广度优先搜索算法的基本原则:以某一顶点为参考点,先搜索离此顶点最近的顶点,再搜索离最近顶点最近的顶点……以此类推,一层一层向目标顶点推进。

如从顶点 A0 找到顶点 F5。先从离 A0 最近的顶点 B1D3 找起,如果没找到,再找离 B1D3 最近的顶点 C2E4,如果还是没有找到,再找离 C2E4 最近的顶点 F5

因为每一次搜索都是采用最近原则,最后搜索到的目标也一定是最近的路径。

也因为采用最近原则,所以搜索过程中,在搜索过程中所经历到的每一个顶点的路径都是最短路径。最近+最近,结果必然还是最近。

显然,广度优先搜索的最近搜索原则是符合先进先出思想的,具体算法实施时可以借助队列实现整个过程。

算法流程:

1.先确定起始点 A0

2.找到 A0 的 2 个后序顶点 B1 、D3 (或者说 B1、D3的前序顶点是 A0),压入队列中。除去起点 A0B1D3 顶点属于第一近压入队列的节点。

B1 和 D3 压入队列的顺序并不影响 A0 ~B1 或 A0 ~ D3 的路径距离(都是 1)。

A0~B1 的最短路径长度为 1

A0~D3 的最短路径长度为 1

3.从队列中搜索 B1 时,找到 B1 的后序顶点 C2 并压入队列。B1 是 C2 的前序顶点。

B1 ~ C2 的最短路径长度为 1,而又因为 A0~B1 的最短路径长度为 1 ,所以 A0 ~ C2 的最短路径为 2

4.B1 搜索完毕后,在队列中搜索 B3 时,找到 B3 的后序顶点 E4 ,压入队列。因 B1 和 D3 属于第一近顶点,所以这 2 个顶点的后序顶点 C2E4 属于第二近压入队列,或说 A0-B1-C2A0-D3-E4 的路径距离是相同的(都为 2)。

5.当搜索到 C2 时,没有后序顶点,此时队列没有压入操作。

6.当 搜索到 E4 时,E4 有 2 个后序顶点 C2F5,因 C2 已经压入过,所以仅压入 F5。因 F5 是由第二近顶点压入,所以 F5 是属于第三近压入顶点。

A0-D3-E4-F5 的路径为 3。

编码实现广度优先算法:

在顶点类中添加如下几个方法:

class Vertex: def __init__(self, v_name, v_id=0): # 顶点的编号 self.v_id = v_id # 顶点的名称 self.v_name = v_name # 是否被访问过:False 没有 True:有 self.visited = False # 与此顶点相连接的其它顶点 self.connected_to = {} ''' 添加邻接顶点 nbr_ver:相邻顶点 weight:无向无权重图,权重默认设置为 1 ''' def add_neighbor(self, nbr_ver, weight=1): # 以相邻顶点为键,权重为值 self.connected_to[nbr_ver] = weight ''' 显示与当前顶点相邻的顶点 ''' def __str__(self): return '与 {0} 顶点相邻的顶点有:{1}'.format(self.v_name, str([(key.v_name, val) for key, val in self.connected_to.items()])) ''' 得到相邻顶点的权重 ''' def get_weight(self, nbr_v): return self.connected_to[nbr_v] ''' 判断给定的顶点是否和当前顶点相邻 ''' def is_neighbor(self, nbr_v): return nbr_v in self.connected_to

顶点类用来构造一个新顶点,并维护与相邻顶点的关系。

对图类中的方法做一下详细解释:

初始化方法:

class Graph: def __init__(self): # 一维列表,保存节点 self.vert_list = {} # 顶点个数 self.v_nums = 0 # 使用队列模拟队列或栈,用于路径搜索算法 self.queue_stack = [] # 保存搜索到的路径 self.searchPath = []

为图添加新顶点方法:

def add_vertex(self, vert): if vert.v_name in self.vert_list: # 已经存在 return # 顶点的编号内部生成 vert.v_id = self.v_nums # 所有顶点保存在图所维护的字典中,以顶点名为键,顶点对象为值 self.vert_list[vert.v_name] = vert # 数量增一 self.v_nums += 1

顶点的编号由图对象内部指定,便于统一管理。

所有顶点保存在一个字典中,以顶点名称为键,顶点对象为值。也可以使用列表直接保存顶点,根据需要决定。

提供一个根据顶点名称返回顶点的方法:

''' 根据顶点名找到顶点对象 ''' def find_vertex(self, v_name): if v_name in self.vert_list: return self.vert_list.get(v_name) # 查询所有顶点 def find_vertexes(self): return [str(ver) for ver in self.vert_list.values()]

添加顶点与相邻顶点的关系:此方法属于一个封装方法,本质是调用顶点自身的添加相邻顶点方法。

''' 添加节点与节点之间的关系(边), 如果是无权重图,统一设定为 1 ''' def add_edge(self, from_v, to_v, weight=1): # 如果节点不存在 if from_v not in self.vert_list: self.add_vertex(from_v) if to_v not in self.vert_list: self.add_vertex(to_v) from_v.add_neighbor(to_v, weight)

图中核心方法:用来广度优先搜索算法查找顶点与顶点之间的路径

''' 广度优先搜索 ''' def bfs_nearest_path(self, from_v, to_v): tmp_path = [] tmp_path.append(from_v) # 起始顶点不用压入队列 from_v.visited = True # from_v 顶点的相邻顶点压入队列 self.push_queue(from_v) while len(self.queue_stack) != 0: # 从队列中获取顶点 v_ = self.queue_stack.pop(0) if from_v.is_neighbor(v_): # 如果 v_ 是 from_v 的后序相邻顶点,则连接成一条中路径信息 tmp_path.append(v_) # 添加路径信息 self.searchPath.append(tmp_path) tmp_path = tmp_path.copy() tmp_path.pop() else: for path_ in self.searchPath: tmp_path = path_.copy() tmp = tmp_path[len(tmp_path) - 1] if tmp.is_neighbor(v_): tmp_path.append(v_) self.searchPath.append(tmp_path) if v_.v_id == to_v.v_id: break else: self.push_queue(v_) ''' 把某一顶点的相邻顶点压入队列 ''' def push_queue(self, vertex): # 获取 vertex 顶点的相邻顶点 for v_ in vertex.connected_to.keys(): # 检查此顶点是否压入过 if v_.visited: continue vertex.visited = True self.queue_stack.append(v_)

广度优先搜索算法有一个核心点,当搜索到某一个顶点后,需要找到与此顶点相邻的其它顶点,并压入队列中。push_queue() 方法就是做些事情的。如果某一个顶点曾经进过队列,就不要再重复压入队列了。

测试代码:

''' 测试无向图最短路径 ''' if __name__ == '__main__': # 初始化图 graph = Graph() # 添加节点 for v_name in ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F']: v = Vertex(v_name) graph.add_vertex(v) # 添加顶点之间关系 v_to_v = [('A', 'B'), ('A', 'D'), ('B', 'C'), ('C', 'E'), ('D', 'E'), ('E', 'F')] # 无向图中每 2 个相邻顶点之间互为关系 for v in v_to_v: f_v = graph.find_vertex(v[0]) t_v = graph.find_vertex(v[1]) graph.add_edge(f_v, t_v) graph.add_edge(t_v, f_v) # 输出所有顶点 print('-----------顶点及顶点之间的关系-------------') for v in graph.find_vertexes(): print(v) # 查找路径 print('-------------广度优先搜索--------------------') # 起始点 f_v = graph.find_vertex('A') # 目标点 t_v = graph.find_vertex('F') # 广度优先搜索 graph.bfs_nearest_path(f_v, t_v) for path in graph.searchPath: weight = 0 for idx in range(len(path)): if idx != len(path) - 1: weight += path[idx].get_weight(path[idx + 1]) print(path[idx].v_name, end='-') print("的最短路径长度,", weight)

输出结果:

-----------顶点及顶点之间的关系-------------
与 A 顶点相邻的顶点有:[('B', 1), ('D', 1)]
与 B 顶点相邻的顶点有:[('A', 1), ('C', 1)]
与 C 顶点相邻的顶点有:[('B', 1), ('E', 1)]
与 D 顶点相邻的顶点有:[('A', 1), ('E', 1)]
与 E 顶点相邻的顶点有:[('C', 1), ('D', 1), ('F', 1)]
与 F 顶点相邻的顶点有:[('E', 1)]
-------------广度优先搜索--------------------
A-B-的最短路径长度, 1
A-D-的最短路径长度, 1
A-B-C-的最短路径长度, 2
A-D-E-的最短路径长度, 2
A-B-C-E-的最短路径长度, 3
A-D-E-的最短路径长度, 2
A-B-C-E-的最短路径长度, 3
A-D-E-F-的最短路径长度, 3
A-B-C-E-F-的最短路径长度, 4
A-D-E-F-的最短路径长度, 3
A-B-C-E-F-的最短路径长度, 4

广度优先搜索算法也可以使用递归方案:

''' 递归实现 ''' def bfs_nearest_path_dg(self, from_v, to_v): # 相邻顶点 self.push_queue(from_v) tmp_v = self.queue_stack.pop(0) if not tmp_v.visited: self.searchPath.append(tmp_v) if tmp_v.v_id == to_v.v_id: return self.bfs_nearest_path_dg(tmp_v, to_v)

在无向图中,查找起始点到目标点的最短路径,使用广度优先搜索算法便可实现,但如果是有向加权图,可能不会称心如愿。因有向加权图中的边是有权重的。所以对于有向加权图则需要另择方案。

3. 总结

图数据结构的实现过程中会涉及到其它数据结构的运用。学习、使用图数据结构对其它数据结构有重新认识和巩固作用。

以上就是Python基于链接表实现无向图最短路径搜索的详细内容,更多关于Python无向图最短路径搜索的资料请关注软件开发网其它相关文章!



最短路径 Python

需要 登录 后方可回复, 如果你还没有账号请 注册新账号