MIT线性代数Linear Algebra公开课笔记 第五章 转置-置换-向量空间（lecture 5 Transposes, Permutations, Vector Spaces）
本章是Gilbert Strang的MIT线性代数Linear Algebra公开课中【第五章 转置-置换-向量空间（lecture 5 Transposes, Permutations, Vector Spaces）】的笔记，参考他在 MIT Linear Algebra课程网站上公开分享的 lecture summary (PDF) & Lecture video transcript (PDF)等文档，整理笔记如下，笔记中的大部分内容是从 MIT Linear Algebra课程网站上的资料中直接粘贴过来的，本人只是将该课程视频中讲述的内容整理为文字形式，前面的章节可在本人的其他博客中找到（此处戳第一章，第二章，第三章，第四章），后面的章节会按照视频顺序不断更新~
文章目录lecture 5 Transposes, Permutations, Vector Spaces一. 置换（Permutations）1.置换矩阵2. LU分解（需要行互换）二. 转置（Transposes）1. 转置2. 对称矩阵（symmetric matrix）三. 向量空间（Vector spaces）1. 向量空间2. 子空间（Subspaces）3. 列空间（Column space） lecture 5 Transposes, Permutations, Vector Spaces 一. 置换（Permutations） 1.置换矩阵Permutations matrix PPP：执行行变换（Permutations PPP is the identity matrix with reordered rows）.
n×nn×nn×n 的置换矩阵总数为：n!=n(n−1)(n−2)…(3)(2)(1)n!=n(n-1)(n-2) \dots(3)(2)(1)n!=n(n−1)(n−2)…(3)(2)(1) ，即各行重新排列后所有可能的矩阵的数目。
所有置换矩阵都可逆，因为各行还原后可以得到单位阵；而且，P−1=PTP^{-1}=P^{T}P−1=PT，即PTP=IP^{T} P=IPTP=I.（符合这个条件的矩阵，除了置换矩阵以外，还有其他矩阵，但是不多，比较稀少）。
2. LU分解（需要行互换） 上一章讲的LU分解：无需进行行交换
A=LU=[10000−1000−−100⋮⋮⋮⋱⋮−−−−1][−−−−−0−−−−00−−−⋮⋮⋮⋱⋮0000−]
A=LU=\left[\begin{array}{lll}
{1} & {0} & {0} & {0} & {0} \\
{-} & {1} & {0} & {0} & {0} \\
{-} & {-} & {1} & {0} & {0} \\
{\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\
{-} & {-} & {-} & {-} & {1}
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{lll}
{-} & {-} & {-} & {-} & {-} \\
{0} & {-} & {-} & {-} & {-} \\
{0} & {0} & {-} & {-} & {-}\\
{\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\
{0} & {0} & {0} & {0} & {-}
\end{array}\right]
A=LU=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1−−⋮−01−⋮−001⋮−000⋱−000⋮1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡−00⋮0−−0⋮0−−−⋮0−−−⋱0−−−⋮−⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤ 当存在行互换时：
PA=LU
PA=LU
PA=LU 该式概括了包含行互换的消元，其中，PPP是表示执行行互换的矩阵（置换矩阵），它将各行互换为正确的顺序，对于任意可逆矩阵AAA，都有这种形式。
MATLAB不仅检验主元位置是否存在0，它甚至不允许存在非常小的非零主元，主元接近于0，数值运算上很难处理，因此在MATLAB操作中，它会进行一些我们认为不必要的行互换。
二. 转置（Transposes） 1. 转置(AT)ij=Aji
\left(A^{T}\right)_{i j}=A_{j i}
(AT)ij=Aji Example 1：
[132341]T=[124331]
\left[\begin{array}{ll}
{1} & {3} \\
{2} & {3} \\
{4} & {1}
\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{lll}
{1} & {2} & {4} \\
{3} & {3} & {1}
\end{array}\right]
⎣⎡124331⎦⎤T=[132341]
对称矩阵：转置之后，矩阵不变，满足AT=AA^{T}=AAT=A的矩阵就是对称矩阵。（对角元素任意，其余元素关于对角元素对称），对称矩阵极为常见。
Example 2：
[317129794]
\left[\begin{array}{lll}
{3} & {1} & {7} \\
{1} & {2} & {9} \\
{7} & {9} & {4}
\end{array}\right]
⎣⎡317129794⎦⎤ 构造对称矩阵方法：给定矩阵RRR（RRR可以不是方阵），则RTRR^{T} RRTR 为对称阵。所有的RTRR^{T} RRTR 都是对称的，因为(RTR)T=RT(RT)T=RTR\left(R^{T} R\right)^{T}=R^{T}\left(R^{T}\right)^{T}=R^TR(RTR)T=RT(RT)T=RTR。
Example 3：
R=[124331]，RT=[132341]
R=\left[\begin{array}{lll}
{1} & {2} & {4} \\
{3} & {3} & {1}
\end{array}\right]，
R^T=\left[\begin{array}{ll}
{1} & {3} \\
{2} & {3} \\
{4} & {1}
\end{array}\right]
R=[132341]，RT=⎣⎡124331⎦⎤
RTR=[132341][124331]=[1011711131171117] R^T R=\left[\begin{array}{ll} {1} & {3} \\ {2} & {3} \\ {4} & {1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} {1} & {2} & {4} \\ {3} & {3} & {1} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lll} {10} & {11} & {7} \\ {11} & {13} & {11} \\ {7} & {11} & {17} \end{array}\right] RTR=⎣⎡124331⎦⎤[132341]=⎣⎡1011711131171117⎦⎤
三. 向量空间（Vector spaces） 1. 向量空间空间必须满足一定的规则，必须能够满足加法和数乘运算，必须对线性组合（线性组合：数乘和加法）封闭（对数乘和加法两种运算是封闭的）。
Example 4：
R2\mathcal{R}^2R2就是向量空间（向量用两个实数表示）；
R2=\mathcal{R}^2=R2= 所有的二维实矢量 = “x ~ y plane”.
R3=\mathcal{R}^3=R3= 所有的三维实矢量
Rn=\mathcal{R}^n=Rn= the set of (column) vectors with nnn real number components.
注：原点必须属于向量空间，否则数乘和加法就不完全满足了。
假设一个非向量空间，如只取 R2\mathcal{R}^2R2的第一象限，所有向量都是正的，两矢量相加后仍为正矢量，但如果进行数乘，很多数乘结果都会脱离第一象限（如乘以负数），因此第一象限不是向量空间，它不是封闭的。
2. 子空间（Subspaces）Example 5：
A vector space in R2\mathcal{R}^2R2 （subspace of R2\mathcal{R}^2R2 ）：R2\mathcal{R}^2R2 中的直线（过原点）。R2\mathcal{R}^2R2 中经过原点的直线是子空间（数乘和加法封闭）；但是，并不是所有的直线都是子空间，例如不经过原点的直线，其对数乘和加法都不封闭，则不是子空间，因此子空间必须过零点。 Every subspace must contain the zero vector because vector spaces are closed under multiplication.
The subspaces of R2\mathcal{R}^2R2 are:
all of R2\mathcal{R}^2R2 ：整个二维空间（空间本身显然是自己的子空间），空间本身总是构成最大的子空间； any line through [00]\left[\begin{array}{l}{0} \\ {0}\end{array}\right][00] (L)(L)(L)：经过原点的任意直线（ R2\mathcal{R}^2R2 中的直线与 R1\mathcal{R}^1R1不同，只能说两者类似，因为他们都是直线，但是对于R2\mathcal{R}^2R2 中的直线，该直线上的向量都有两个分量，而 R1\mathcal{R}^1R1中的只有一个分量，因此两者截然不同）； the zero vector alone (Z)(Z)(Z)：只是一个点（只包含零向量），他总是构成最小的子空间。The subspaces of R3\mathcal{R}^3R3 are:
all of R3\mathcal{R}^3R3 ； any plane through the origin； any line through the origin； the zero vector alone (Z) [000]\left[\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right]⎣⎡000⎦⎤ . 3. 列空间（Column space）矩阵如何构造子空间？ 矩阵列向量的所有线性组合。
Example 6：
A=[132341]
A=\left[\begin{array}{ll}
{1} & {3} \\
{2} & {3} \\
{4} & {1}
\end{array}\right]
A=⎣⎡124331⎦⎤ AAA的各列都属于 R3\mathcal{R}^3R3 ，可以用这些列来构造子空间，首先，这两个列向量已经在子空间中了，那么他们所有的线性组合都必须在子空间中，即：all their linear combinations form a subspace of R3\mathcal{R}^3R3，被称为列空间column space，记作C(A)C(A)C(A).
如果向量在R3\mathcal{R}^3R3空间中，那么它们构成的空间也在R3\mathcal{R}^3R3中；关键是我们对其进行线性组合后，仍在子空间内； 在Example 6中，若在几何上画出这两个列向量，那么他们构成的子空间（即列空间）是一个通过原点的平面。如果矩阵的两列恰好共线，那么列空间将只是一条直线。
Example 7：
若要求解R10\mathcal{R}^{10}R10中五个向量的线性组合，结果是什么？
也是某种子空间。R10\mathcal{R}^{10}R10中的五个向量，每个都有10个分量，取这五个向量的线性组合，得到的不是R5\mathcal{R}^{5}R5，因为每个都有十个分量；也许是十维空间中的五维平面之类的东西，当然，它也穿过原点；如果这五个矢量共线，那么线性组合将是一条直线；因此，结果不止一种可能性，这取决于这5个向量的性质。
作者：WongRUIRui
