【信号与系统】笔记（3-1）——信号的正交分解与傅里叶级数
Author：AXYZdong
自动化专业 工科男
有一点思考，有一点想法，有一点理性！
连续系统的频域分析相关内容。
一、信号的正交分解 1、信号正交【定义】在 (t1,t2)(t_1,t_2)(t1,t2) 区间的两个函数 φ1(t)\varphi_1(t)φ1(t) 和 φ2(t)\varphi_2(t)φ2(t) ，若满足∫t1t2φ1(t)φ2∗(t)dt=0\int_{t_1}^{t_2}\varphi_1(t)\varphi_2^*(t)dt=0∫t1t2φ1(t)φ2∗(t)dt=0（两个函数的内积为0）
则称 φ1(t)\varphi_1(t)φ1(t) 和 φ2(t)\varphi_2(t)φ2(t) 在 (t1,t2)(t_1,t_2)(t1,t2) 区间内正交。
说明：实函数正交 ∫t1t2φ1(t)φ2(t)dt=0\int_{t_1}^{t_2}\varphi_1(t) \varphi_2(t)dt=0∫t1t2φ1(t)φ2(t)dt=0 （内积为0）
2、正交函数集若 nnn 个函数 φ1(t),φ2(t),...,φn(t)\varphi_1(t), \varphi_2(t),..., \varphi_n(t)φ1(t),φ2(t),...,φn(t) 构成一个函数集，当这些函数在区间 (t1,t2)(t_1,t_2)(t1,t2) 内满足
∫t1t2φi(t)φj∗(t)dt={0,i≠jKi≠0,i=j
\int_{t_1}^{t_2}\varphi_i(t)\varphi_j^*(t)dt=
\begin{cases}
0, i \neq j \\
\\
K_i \neq 0 , i=j
\end{cases}
∫t1t2φi(t)φj∗(t)dt=⎩⎪⎨⎪⎧0,i=jKi=0,i=j
则称此函数集为在 (t1,t2)(t_1,t_2)(t1,t2) 区间上的正交函数集。
如果在正交函数集 {φ1(t),φ2(t),...,φn(t)}\lbrace \varphi_1(t), \varphi_2(t), ... , \varphi_n(t)\rbrace{φ1(t),φ2(t),...,φn(t)} 之外，不存在任何函数 φ(t)\varphi(t)φ(t) 满足
∫t1t2φ1(t)φ2∗(t)dt=0,(i=1,2,...,n)
\int_{t_1}^{t_2}\varphi_1(t)\varphi_2^*(t)dt=0 , (i=1,2,...,n)
∫t1t2φ1(t)φ2∗(t)dt=0,(i=1,2,...,n)
则称此函数集为完备正交函数集。
4、信号的正交分解 4.1正交函数的线性组合设 nnn 个函数 φ1(t),φ2(t),...,φn(t)\varphi_1(t), \varphi_2(t),..., \varphi_n(t)φ1(t),φ2(t),...,φn(t) 在区间 (t1,t2)(t_1,t_2)(t1,t2) 构成一个正交函数空间。将任意函数 f(t)f(t)f(t) 用这 nnn 个正交函数的线性组合来近似表示，可表示为：
f(t)≈C1φ1(t)+C2φ2(t)+...+Ciφi(t)+...+Cnφn(t)=∑j=1nCjφj(t)
f(t) \approx C_1 \varphi_1(t)+ C_2\varphi_2(t)+...+ C_i \varphi_i(t)+...+C_n \varphi_n(t)= \sum_{j=1}^{n}C_j \varphi_j(t)
f(t)≈C1φ1(t)+C2φ2(t)+...+Ciφi(t)+...+Cnφn(t)=j=1∑nCjφj(t)
说明：存在误差，但是当 n→∞n\to \inftyn→∞ 时（完备正交函数集），误差为零。
4.2广义傅里叶级数任意信号 f(t)f(t)f(t) 可以表示为无穷多个正交函数之和
f(t)=C1φ1(t)+C2φ2(t)+...+Ciφi(t)+...=∑i=1nCiφi(t)
f(t) = C_1 \varphi_1(t)+ C_2\varphi_2(t)+...+ C_i \varphi_i(t)+... = \sum_{i=1}^{n}C_i \varphi_i(t)
f(t)=C1φ1(t)+C2φ2(t)+...+Ciφi(t)+...=i=1∑nCiφi(t)
上式称为信号的正交展开式，也称为 广义的傅里叶级数 。
实变函数下：Ci=∫t1t2f(t)φi(t)dt∫t1t2φi2(t)dt=1Ki∫t1t2f(t)φi(t)dtC_i= \frac{ \int_{t_1}^{t_2}f(t)\varphi_i (t)dt }{\int_{t_1}^{t_2}\varphi_i^2(t) dt}= \frac{1}{K_i} \int_{t_1}^{t_2}f(t)\varphi_i (t)dtCi=∫t1t2φi2(t)dt∫t1t2f(t)φi(t)dt=Ki1∫t1t2f(t)φi(t)dt
复变函数下：Ci=∫t1t2f(t)φi∗(t)dt∫t1t2φi(t)φi∗(t)dt=1Ki∫t1t2f(t)φi∗(t)dtC_i= \frac{ \int_{t_1}^{t_2}f(t)\varphi_i ^*(t)dt }{\int_{t_1}^{t_2}\varphi_i(t) \varphi_i^*(t) dt}= \frac{1}{K_i} \int_{t_1}^{t_2}f(t)\varphi_i ^*(t)dtCi=∫t1t2φi(t)φi∗(t)dt∫t1t2f(t)φi∗(t)dt=Ki1∫t1t2f(t)φi∗(t)dt
CiC_iCi 称为 广义傅里叶系数 。
4.3典型完备正交函数集两组典型的在区间(t0,t0+T)(T=2π/Ω)(t_0,t_0+T)(T=2\pi/ \Omega)(t0,t0+T)(T=2π/Ω) 上的完备正交函数集
（1）三角函数集 {1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,...}\lbrace 1, \cos(n\Omega t) ,\sin(n\Omega t) ,n=1,2,...\rbrace{1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,...}
（2）虚指数函数集 {ejnΩt,n=0,±1,±2,...}\lbrace e^{jn\Omega t} ,n=0, \pm 1,\pm 2,...\rbrace{ejnΩt,n=0,±1,±2,...}
二、傅里叶级数DirichletDirichletDirichlet条件
在一个周期内：（1）如果间断点存在，则间断点的数目应是有限个
（2）极大值和极小值的数目应是有限个
（3）信号满足绝对可积
直流分量 + n(n→∞)n(n \to \infty)n(n→∞)个正交函数的线性组合。
说明：这里的正交函数属于完备正交函数集（三角函数集）
周期信号 f(t)f(t)f(t) 其周期为 TTT 角频率 Ω=2πT\Omega= \frac{2 \pi}{T}Ω=T2π 当满足 DirichletDirichletDirichlet 条件时，它可以分解成如下三角级数：
f(t)=a02+∑n=1∞ancos(nΩt)+∑n=1∞bnsin(nΩt)
f(t)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos(n\Omega t) +\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(n\Omega t)
f(t)=2a0+n=1∑∞ancos(nΩt)+n=1∑∞bnsin(nΩt)
an,bna_n,b_nan,bn 称为傅里叶系数
an=2T∫−2T2Tf(t)cos(nΩt)dta_n= \frac{2}{T} \int_{-\frac{2}{T}}^{
\frac{2}{T}} f(t) \cos(n\Omega t)dtan=T2∫−T2T2f(t)cos(nΩt)dt
bn=2T∫−2T2Tf(t)sin(nΩt)dtb_n= \frac{2}{T} \int_{-\frac{2}{T}}^{
\frac{2}{T}} f(t) \sin(n\Omega t)dtbn=T2∫−T2T2f(t)sin(nΩt)dt
同频率项合成：f(t)=A02+∑n=1∞Ancos(nΩt+φ)f(t)= \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}A_n \cos(n\Omega t +\varphi)f(t)=2A0+∑n=1∞Ancos(nΩt+φ)
式中：A0=a0,An=an2+bn2,φn=−arctanbnanA_0=a_0,A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}, \varphi_n=-\arctan \frac{b_n}{a_n}A0=a0,An=an2+bn2,φn=−arctananbn
an=Ancosφn,bn=−Ansinφn,n=1,2,...a_n=A_n\cos \varphi _n , b_n=-A_n\sin \varphi _n,n=1,2,...an=Ancosφn,bn=−Ansinφn,n=1,2,...
A02\frac{A_0}{2}2A0 ：直流分量；
A1cos(Ωt+φ1)A_1 \cos(\Omega t +\varphi _1)A1cos(Ωt+φ1)：基波或一次谐波
Ancos(nΩt+φn)A_n \cos(n\Omega t +\varphi _n)Ancos(nΩt+φn)：nnn 次谐波
| 对称条件 | 展开式中所包含成分 | ana_nan | bnb_nbn |
|---|---|---|---|
| 偶函数 | 直流项+++余弦项 | T4∫02Tf(t)cos(nΩt)dt\frac{T}{4} \int_0^{\frac{2}{T}} f(t) \cos(n\Omega t)dt4T∫0T2f(t)cos(nΩt)dt | 000 |
| 奇函数 | 正弦项 | 0 | T4∫02Tf(t)sin(nΩt)dt\frac{T}{4} \int_0^{\frac{2}{T}} f(t) \sin(n\Omega t)dt4T∫0T2f(t)sin(nΩt)dt |
| 偶谐函数f(t)=f(t±T2)f(t)=f(t \pm \frac{T}{2})f(t)=f(t±2T) | 只含偶次谐波 | T4∫02Tf(t)cos(nΩt)dt\frac{T}{4} \int_0^{\frac{2}{T}} f(t) \cos(n\Omega t)dt4T∫0T2f(t)cos(nΩt)dt | T4∫02Tf(t)sin(nΩt)dt\frac{T}{4} \int_0^{\frac{2}{T}} f(t) \sin(n\Omega t)dt4T∫0T2f(t)sin(nΩt)dt |
| 奇谐函数f(t)=−f(t±T2)f(t)=-f(t \pm \frac{T}{2})f(t)=−f(t±2T) | 只含奇次谐波 | T4∫02Tf(t)cos(nΩt)dt\frac{T}{4} \int_0^{\frac{2}{T}} f(t) \cos(n\Omega t)dt4T∫0T2f(t)cos(nΩt)dt | T4∫02Tf(t)sin(nΩt)dt\frac{T}{4} \int_0^{\frac{2}{T}} f(t) \sin(n\Omega t)dt4T∫0T2f(t)sin(nΩt)dt |
f(t)=∑n=−∞∞FnejnΩt
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{j n \Omega t}
f(t)=n=−∞∑∞FnejnΩt
复傅里叶系数Fn=1T∫−2T2Tf(t)e−jnΩtdtF_n= \frac{1}{T} \int_{-\frac{2}{T}}^{
\frac{2}{T}} f(t) e^{-j n \Omega t}dtFn=T1∫−T2T2f(t)e−jnΩtdt
平均功率：
1T∫0Tf2(t)dt=(A02)2+∑n=1∞12An2=∑n=−∞∞∣Fn∣2
\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f^2(t) dt =(\frac{A_0}{2})^2 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} A_n^2 =\sum _{n=-\infty}^{\infty} |F_n| ^ 2
T1∫0Tf2(t)dt=(2A0)2+n=1∑∞21An2=n=−∞∑∞∣Fn∣2
中学学过 矢量的正交分解 ，类比，信号也可以正交分解，任意信号 f(t)f(t)f(t) 可以表示为无穷多个正交函数之和，完备的 正交函数集 为 傅里叶级数 埋下了伏笔。乍一看傅里叶级数一串儿公式，刚开始可能不理解，如果从信号的正交分解来看，就不难理解了。
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作者：AXYZdong
