详解基于C++实现约瑟夫环问题的三种解法
一、前言
二、循环链表模拟
三、有序集合模拟
四、递归公式解决
五、结语
一、前言什么是约瑟夫环问题？
约瑟夫环问题在不同平台被"优化"描述的不一样，例如在牛客剑指offer叫孩子们的游戏，还有叫杀人游戏，点名……最直接的感觉还是力扣上剑指offer62的描述：圆圈中最后剩下的数字。
问题描述：
0,1,···,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。
例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。
当然，这里考虑m，n都是正常的数据范围，其中
1 <= n <= 10^5
1 <= m <= 10^6
对于这个问题，你可能脑海中有了印象，想着小时候村里一群孩子坐在一起，从某个开始报数然后数到几出列，下一个重新开始一直到最后一个。
二、循环链表模拟这个问题最本质其实就是循环链表的问题，围成一个圈之后，就没有结尾这就是一个典型的循环链表嘛！一个一个顺序报数，那不就是链表的遍历枚举嘛！数到对应数字的出列，这不就是循环链表的删除嘛！
并且这里还有非常方便的地方：
循环链表的向下枚举不需要考虑头尾问题，直接node=node.next向下
循环聊表的删除也不需要考虑头尾问题，直接node.next=node.next.next删除
当然也有一些需要注意的地方
形成环形链表很简单，只需要将普通链表的最后一个节点的next指向第一个节点即可
循环链表中只有一个节点的时候停止返回，即node.next=node的时候
删除，需要找到待删除的前面节点，所以我们删除计数的时候要少即一位，利用前面的那个节点直接删除后面节点即可
这样，思路明确，直接开撸代码：
class Solution {
class node//链表节点
{
int val;
public node(int value) {
this.val=value;
}
node next;
}
public int lastRemaining(int n, int m) {
if(m==1)return n-1;//一次一个直接返回最后一个即可
node head=new node(0);
node team=head;//创建一个链表
for(int i=1;i<n;i++)
{
team.next=new node(i);
team=team.next;
}
team.next=head;//使形成环
int index=0;//从0开始计数
while (head.next!=head) {//当剩余节点不止一个的时候
//如果index=m-2 那就说明下个节点(m-1)该删除了
if(index==m-2)
{
head.next=head.next.next;
index=0;
}
else {
index++;
}
head=head.next;
}
return head.val;
}
}
当然，这种算法太复杂了，大部分的OJ你提交上去是无法AC的，因为超时太严重了，具体的我们可以下面分析。
三、有序集合模拟上面使用链表直接模拟游戏过程会造成非常严重非常严重的超时，n个数字，数到第m个出列。因为m如果非常大远远大于m，那么将进行很多次转圈圈。
所以我们可以利用求余的方法判断等价最低的枚举次数，然后将其删除即可，在这里你可以继续使用自建链表去模拟，上面的while循环以及上面只需添加一个记录长度的每次求余算圈数即可：
int len=n;
while (head.next!=head) {
if(index==(m-2)%len)
{
head.next=head.next.next;
index=0;
len--;
}
else {
index++;
}
head=head.next;
}
但我们很多时候不会手动去写一个链表模拟，我们会借助ArrayList和LinkedList去模拟，如果使用LinkedList其底层也是链表，使用ArrayList的话其底层数据结构是数组。不过在使用List其代码方法一致。
List可以直接知道长度，也可删除元素，使用List的难点是一个顺序表怎们模拟成循环链表？
咱们仔细思考：假设当前长度为n，数到第m个(通过上面分析可以求余让这个有效的m不大于n)删除，在index位置删除。那么删除后剩下的就是n-1长度，index位置就是表示第一个计数的位置，我们可以通过求余得知走下一个删除需要多少步，那么下个位置怎么确定呢？
你可以分类讨论看看走的次数是否越界，但这里有更巧妙的方法，可以直接求的下一次具体的位置，公式就是为：
index=(index+m-1)%(list.size());
因为index是从1计数，如果是循环的再往前m-1个就是真正的位置，但是这里可以先假设先将这个有序集合的长度扩大若干倍，然后从index计数开始找到假设不循环的位置index2，最后我们将这个位置index2%(集合长度)即为真正的长度。
使用这个公式一举几得，既能把上面m过大循环过多的情况解决，又能找到真实的位置，就是将这个环先假设成线性的然后再去找到真的位置，如果不理解的话可以再看看这个图：
这种情况的话大部分的OJ是可以勉强过关的，面试官的层面也大概率差不多的，具体代码为：
class Solution {
public int lastRemaining(int n, int m) {
if(m==1)
return n-1;
List<Integer>list=new ArrayList<>();
for(int i=0;i<n;i++)
{
list.add(i);
}
int index=0;
while (list.size()>1)
{
index=(index+m-1)%(list.size());
list.remove(index);
}
return list.get(0);
}
}
四、递归公式解决
我们回顾上面的优化过程，上面用求余可以解决m比n大很多很多的情况(即理论上需要转很多很多圈的情况)。但是还可能存在n本身就很大的情况，无论是顺序表ArrayList还是链表LinkedList去频繁查询、删除都是很低效的。
所以聪明的人就开始从数据找一些规律或者关系。
先抛出公式：
f(n,m)=(f(n-1,m)+m)%n
f(n,m)指n个人，报第m个编号出列最终编号
下面要认真看一下我的分析过程：
我们举个例子，有0 1 2 3 4 5 6 7 8 9十个数字，假设m为3,最后结果可以先记成f(10,3)，即使我们不知道它是多少。
当进行第一次时候，找到元素2 删除，此时还剩9个元素，但起始位置已经变成元素3。等价成3 4 5 6 7 8 9 0 1这9个数字重写开始找。
此时这个序列最终剩下的一个值即为f(10,3)，这个序列的值和f(9,3)不同，但是都是9个数且m等于3，所以其删除位置是相同的，即算法大体流程是一致的，只是各位置上的数字不一样。所以我们需要做的事情是找找这个序列上和f(9,3)值上有没有什么联系。
寻找过程中别忘记两点，首先可通过%符号对数字有效扩充，即我们可以将3 4 5 6 7 8 9 0 1这个序列看成(3,4,5,6,7,8,9,10,11)%10.这里的10即为此时的n数值。
另外数值如果是连续的，那么最终一个结果的话是可以找到联系的(差值为一个定制)。所以我们可以就找到f(10,3)和f(9,3)值之间结果的关系，可以看下图：
所以f(10,3)的结果就可以转化为f(9,3)的表达,后面也是同理：
f(10,3)=(f(9,3)+3)%10
f(9,3)=(f(8,3)+3)%9
……
f(2,3)=(f(1,3)+3)%2
f(1,3)=0
这样，我们就不用模拟操作，可以直接从数值的关系找到递推的关系，可以轻轻松松的写下代码：
class Solution {
int index=0;
public int lastRemaining(int n, int m) {
if(n==1)
return 0;
return (lastRemaining(n-1,m)+m)%n;
}
}
但是递归效率因为有个来回的规程，效率相比直接迭代差一些，也可从前往后迭代：
class Solution {
public int lastRemaining(int n, int m) {
int value=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
value=(value+m)%i;
}
return value;
}
}
五、结语
我想，通过本篇文章你应该掌握和理解了约瑟夫环问题，这种裸的约瑟夫环问题出现的概率很大，考察很频繁，链表模拟是根本思想，有序集合模拟链表是提升，而公式递推才是最有学习价值的地方，如果你刚开始接触不理解可以多看几遍。
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