【信号与系统】笔记（4-4）复频域分析
Author：AXYZdong
自动化专业 工科男
有一点思考，有一点想法，有一点理性！
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解：微分方程两边取拉氏变换，可得：
(s2+5s+6)Y(s)−sy(0−)−y′(0−)−5y(0−)=(2s+10)F(s)(s^2+5s+6)Y(s)-sy(0_{-})-y'(0_{-})-5y(0_{-})=(2s+10)F(s)(s2+5s+6)Y(s)−sy(0−)−y′(0−)−5y(0−)=(2s+10)F(s)
整理：
Y(s)=s+6s2+5s+6+2s+10s2+5s+6⋅F(s)Y(s)=\frac{s+6}{s^2+5s+6}+\frac{2s+10}{s^2+5s+6}\cdot F(s)Y(s)=s2+5s+6s+6+s2+5s+62s+10⋅F(s)
故：YX(s)=s+6s2+5s+6=4s+2+−3s+3,Yf(s)=2s+10s2+5s+6=−6s+2+2s+3+4s+1Y_X(s)=\frac{s+6}{s^2+5s+6}=\frac{4}{s+2}+\frac{-3}{s+3},Y_f(s)=\frac{2s+10}
{s^2+5s+6}=\frac{-6}{s+2}+\frac{2}{s+3}+\frac{4}{s+1}YX(s)=s2+5s+6s+6=s+24+s+3−3,Yf(s)=s2+5s+62s+10=s+2−6+s+32+s+14
零状态响应：yf(t)=(2e−3t+4e−t−6e−2t)ϵ(t)y_f(t)=(2e^{-3t}+4e^{-t}-6e^{-2t})\epsilon(t)yf(t)=(2e−3t+4e−t−6e−2t)ϵ(t)
零输入响应：yX(t)=(4e−2t−3e−3t)ϵ(t)y_X(t)=( 4e^{-2t}-3e^{-3t})\epsilon(t)yX(t)=(4e−2t−3e−3t)ϵ(t)
全响应：y(t)=(−e−3t+4e−t−2e−2t)ϵ(t)y(t)=(-e^{-3t}+4e^{-t}-2e^{-2t})\epsilon(t)y(t)=(−e−3t+4e−t−2e−2t)ϵ(t)
系统函数定义为：
H(s)=Yf(s)F(s)=B(s)A(s)H(s)=\frac{Y_f(s)}{F(s)}=\frac{B(s)}{A(s)}H(s)=F(s)Yf(s)=A(s)B(s)
它只与系统的结构、元件的参数有关，而与激励、初始状态无关。
yf(t)=h(t)∗f(t)⟶Yf(s)=L[h(t)]F(s)y_f(t)=h(t)*f(t) \longrightarrow Y_f(s)=\mathcal{L}[h(t)]F(s)yf(t)=h(t)∗f(t)⟶Yf(s)=L[h(t)]F(s)
例：
解：设左边加法器输出为：X(s)X(s)X(s)
则：X(s)=F(s)−5s−1X(s)−4s−2X(s)X(s)=F(s)-5s^{-1}X(s)-4s^{-2}X(s)X(s)=F(s)−5s−1X(s)−4s−2X(s)
Y(s)=X(s)+4s−2X(s)Y(s)=X(s)+4s^{-2}X(s)Y(s)=X(s)+4s−2X(s)
可得：X(s)=s2s2+5s+4F(s)X(s)=\frac{s^2}{s^2+5s+4}F(s)X(s)=s2+5s+4s2F(s)
Y(s)=s2+4s2+5s+4F(s),即：(s2+5s+4)Y(s)=(s2+4)F(s)Y(s)=\frac{s^2+4}{s^2+5s+4}F(s),即：({s^2+5s+4})Y(s)=(s^2+4)F(s)Y(s)=s2+5s+4s2+4F(s),即：(s2+5s+4)Y(s)=(s2+4)F(s)
（1）微分方程：y′′(t)+5y′(t)+4y(t)=f′′(t)+4f(t)y''(t)+5y'(t)+4y(t)=f''(t)+4f(t)y′′(t)+5y′(t)+4y(t)=f′′(t)+4f(t)
（2）系统函数：H(s)=s2+4s2+5s+4H(s)=\frac{s^2+4}{s^2+5s+4}H(s)=s2+5s+4s2+4
（3）H(s)=s2+4s2+5s+4=1+53(s+1)−203(s+4)H(s)=\frac{s^2+4}{s^2+5s+4}=1+\frac{5}{3(s+1)}-\frac{20}{3(s+4)}H(s)=s2+5s+4s2+4=1+3(s+1)5−3(s+4)20
h(t)=L−1[H(s)]=δ(t)+(53e−t−203e−4t)ϵ(t)h(t)=\mathcal{L^{-1}}[H(s)]=\delta(t)+(\frac{5}{3}e^{-t}-\frac{20}{3}e^{-4t})\epsilon(t)h(t)=L−1[H(s)]=δ(t)+(35e−t−320e−4t)ϵ(t)
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作者：AXYZdong
