机器学习之线性模型
线性回归也就是可以用一条直线来拟合一个点集。博主大概总结下机器学习的线性模型，以及主要的公式推到，参考书籍是周志华教授的西瓜书《机器学习》，博主给出了一些西书中主要的公式推导思路或过程，对于常用的逻辑回归模型，利用sklearn机器学习包实现对MNIST公共数据集的简单分类应用。机器学习无非是回归和分类的问题，其目的就是学习一个数学函数，通过该数学函数输入得到输出。线性模型主要有以下三大类，也是本文要总结的三大类，其实只有前两者是用来做回归的，而最后一个是做分类的：
一元线性回归模型（一个自变量和一个因变量） 多元线性回归模型（多个因变量） 对数几率回归模型（逻辑回归模型，用来做分类） 1.一元线性回归模型这个其实很好理解，直接看西瓜书给出的公式就知道：
目的很简单，就是给定样本输入x求解输出f(x),而线性回归模型的主要工作就是学得参数w和b，且使得损失函数最小，也就是说在预测过程中，我们需要使预测值和真实值之间的误差最小。求解参数的主要思路步骤：
证损失函数是凸函数，根据二元函数凹凸性判定定理证明即可，也就是分别求出关于w和b的二阶偏导值，利用AC-B^2>=0来判断其为凸函数。
分别对w和b求解一阶偏导，并令其为0，解出的w和b就是我们要求得的参数能使得损失函数值最小，由此可以推导出西瓜书的等式：
其实最后一步w参数的向量化目的是方便编程，在实际的应用中，给出的数据样本值x一般是一个序列，向量化有助于python利用矩阵工具计算相应的参数值。
2.多元线性回归模型
多元回归模型的推导思路和一元是一样的，但是不同的是需要把w和b统一为向量的形式（w;b）,西瓜书中直接给出了损失函数让人看不懂：
实际的推导如下*（因为公式不好敲，这里就贴个图片了哈，谅解！！！）*
现在最关键的一步就是损失函数的求解，求解最小值，这里有两种方式，第一种就是和一元的思路差不多，涉及到矩阵的求导和微分，第二种也是值得推荐的一种常用的方法，梯度下降法，其不只是使用在一元/多元线性回归上，其它机器学习的模型也常用梯度下降法来优化损失函数，求解最优参数解。现在分别大致描述下两种方法的思路。
1. 西瓜书的思路属于第一种，判断凹凸性，也就是Hessian矩阵正定，则为凸函数。Hessian矩阵其实就是在梯度（一阶偏导数存在） 的类似基础上，求解二阶偏导数存在。推到过程如下：
2. 梯度下降法它是用迭代的方法求解目标函数得到最优解，是在cost function（成本函数）的基础上，利用梯度迭代求出局部最优解。
对于线性回归模型：
损失函数为：
给一个初始值，使损失函数逐次变小，使每次都往梯度下降的方向改变：
表示下降速度。
为了求偏导数，当只有一个样本时，即
；
当有多个训练样本时，下降梯度算法即为：
由于每次迭代都需要计算所有样本的残差并加和，因此此方法也叫做批下降梯度法（batch gradient descent），当有大规模数据时，此方法不太适合，可采取它得一个变种，即每次更新权重时，不是计算所有的样本，而是选取其中一个样本进行计算梯度，这个方法叫做随机下降梯度法（stochastic gradient descent）：
随机下降梯度法与下降梯度法对比可能收敛更快，但是可能找不到最优点而在最优点附近徘徊。
对于局部加权线性回归（LWLR），可以参考如下博客：
https://blog.csdn.net/tercel_w/article/details/62883704
**总结：**线性回归的优点计算简单，容易实现，缺点使无法拟合非线性数据！！！
逻辑回归模型（对数几率回归）Logistic是用来分类的，是一种线性分类器。逻辑回归的表达式可以通过替代函数和广义线性模型来推导，需要记住其表达式为：
其导数形式为：
logsitc回归方法主要是用极大似然估计来学习的，所以单个样本的后验概率为：
所以，整个样本的后验概率为：
取对数，得似然函数：
似然函数取得最大值即为损失函数取得最小值，也可采用梯度下降法求解参数：
**总结：**逻辑回归的优点计算简单，分类时计算很快；缺点就是容易欠拟合，准确度不高，只能处理两分类问题（在此基础上衍生出来的softmax可以用于多分类），且必须线性可分。
Logistic回归模型的实践采用的数据集为MNIST数据，可以进入该网盘下载：链接
链接：https://pan.baidu.com/s/1kc8oLBfUKdI_oK8j60RTNw
提取码：qcad
PyCharm+Anaconda实现代码：
import time
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.utils import check_random_state
# 读取数据集
df = pd.read_csv('mnist_784.csv')
#按照行号来索引，区别于loc是按照index来索引
X = df.iloc[:, :-1].values
y = df.iloc[:, -1].values
print(X.shape,y.shape) #查看维度
t0 = time.time()
train_samples = 5000 #训练样本大小
#check_random_state():这里使用的是numpy.random.RandomState().RandomState()可以使用int,array,None。None的时候就是随机。和np.random.seed()比较，seed只能用一次，每次调用随机函数用在之前再声明一下。
random_state = check_random_state(0)
permutation = random_state.permutation(X.shape[0]) #打乱顺序
X = X[permutation]
y = y[permutation]
X = X.reshape((X.shape[0],-1)) #reshape()最后一位如果是-1，表示适应前面的分法
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X,y,train_size=train_samples,test_size=10000) #划分测试集和训练集，指定训练集和测试集的大小
#对每个特征，数据归一化(x-u)/s
scaler = StandardScaler()
X_train = scaler.fit_transform(X_train) #训练集上需要先拟合再标准化
X_test = scaler.transform(X_test) #测试集上直接标准化
"""
@penalty:正则化类型，默认为L2
@tol:迭代终止判断的误差范围
@C:默认：1.0；其值等于正则化强度的倒数，为正的浮点数。数值越小表示正则化越强。
@solver:{'newton-cg', 'lbfgs', 'liblinear', 'sag', 'saga'}，默认: 'liblinear'；用于优化问题的算法。
@multi_class:{ovr'， 'multinomial'}，默认:'ovr'；如果选择的选项是“ovr”，那么一个二进制问题适合于每个标签，否则损失最小化就是整个概率分布的多项式损失。对liblinear solver无效。
"""
clf = LogisticRegression(C=50./train_samples,
multi_class='multinomial',
penalty='l1', solver='saga', tol=0.1)
clf.fit(X_train,y_train) #训练
sparsity = np.mean(clf.coef_ == 0) * 100
score = clf.score(X_test, y_test)
#打印结果
print("Sparsity with L1 penalty: %.2f%%" % sparsity)
print("Test score with L1 penalty: %.4f" % score)
coef = clf.coef_.copy()
plt.figure(figsize=(10, 5))
scale = np.abs(coef).max()
for i in range(10):
l1_plot = plt.subplot(2, 5, i + 1)
l1_plot.imshow(coef[i].reshape(28, 28), interpolation='nearest',
cmap=plt.cm.RdBu, vmin=-scale, vmax=scale)
l1_plot.set_xticks(())
l1_plot.set_yticks(())
l1_plot.set_xlabel('Class %i' % i)
plt.suptitle('Classification vector for...')
run_time = time.time() - t0
print('Example run in %.3f s' % run_time)
plt.show()
结语：下一篇文章将在博主的博客**“项目”**里，简单运用Logistic分类模型实现达观杯的一个文本分类竞赛题，目的不是刷榜，而是想熟悉一下sklearn机器学习包的运用，以及一个机器学习算法是如何在一个实际场景中进行运用的。
参考资料：
[1]: 周志华.西瓜书《机器学习》
[2]:https://www.cnblogs.com/tornadomeet/p/3395593.html
[3]:https://blog.csdn.net/tercel_w/article/details/62883704
作者：永恒的记忆2019
