计算方法：高斯消去法（线性方程组求解）

Harriet ·

更新时间:2024-09-21

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问题描述

为求解一个线性方程组，首先构造增广矩阵[A|B]，采用偏序选主元策略的高斯消去法变换成上三角矩阵，再执行回代过程得到解。

输入形式

在屏幕上依次输入方阵阶数n，系数矩阵A和常数矩阵B。

输出形式

首先输出上三角矩阵（变换后的增广矩阵），然后每一行输出一个根

样例1输入

1 2 1 4

2 0 4 3

4 2 2 1

-3 1 3 2

样例1输出

[[ 4. 2. 2. 1. 20. ]

[ 0. 2.5 4.5 2.75 21. ]

[ 0. 0. 4.8 3.6 26.4 ]

[ 0. 0. 0. 3.75 7.5 ]]

[[ 3.]

[-1.]

[ 4.]

[ 2.]]

样例1说明

输入：第1行为方阵阶数4，第2行至5行为系数矩阵A，第6行至9行为常数矩阵B。

输出：首先输出上三角矩阵（变换后的增广矩阵），然后每行依次输出方程解：x1, x2, x3, x4。

代码

# 高斯消元法
import numpy as np
def Input():
    n = int(input())
    A = np.zeros([n, n], dtype=np.double())
    for r in range(n):
        A[r:] = np.array(input().split(), dtype=np.double)
    B = np.zeros([n, 1], dtype=np.double)
    for r in range(n):
        B[r:] = np.array(input(), dtype=np.double)
    return A, B, n
def Gaussian(Aug):
    n = Aug.shape[0]
    epslion = np.finfo(np.float32).eps
    for p in range(0, n):
        max_index = np.argmax(np.fabs(Aug[p:n, p]))
        # 交换p, max_row行
        max_row = max_index + p
        Aug[[p, max_row], :] = Aug[[max_row, p], :]
        if abs(Aug[p, p]) < epslion :
            print('Array a was singular. No unique solution')
            break
        for k in range(p + 1, n):
            m = Aug[k, p] / Aug[p, p]
            Aug[k, p:n + 1] = Aug[k, p:n + 1] - m * Aug[p, p:n + 1]
    return Aug
def backsub(A, B):
    n = B.size
    X = np.zeros([n, 1], dtype=np.double)
    X[n - 1] = B[n - 1] / A[n - 1][n - 1]
    for i in range(n - 2, -1, -1):
        X[i] = (B[i] - A[i, i + 1:] @ X[i + 1:]) / A[i][i]
    return X
def main():
    A, B, n = Input()
    gaussian = Gaussian(np.hstack((A, B)))  # 将A,B以列合并
    print(gaussian)
    X = backsub(gaussian[:, 0:n], gaussian[:, n:])
    print(X)
if __name__ == '__main__':
    main()

作者：南极墨白

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