【线代笔记】2.1 Vectors and Linear Equations - 向量与线性方程组
线性代数的核心问题是求解线性方程组，例如：
x−2y=13x+2y=11 \begin{aligned} x-2y &=1 \\ 3x+2y &=11 \end{aligned} x−2y3x+2y=1=11
两个方程都各自表示了位于xy平面中的一条线段，若用行的视角来进行表示
行视角上可以看出两条线交于一点（3, 2），这就是该方程组的解
如果用列视角来表示，可将线性方程组表示为向量方程，即
x[21]+y[−22]=[111]=b x\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} +y \begin{bmatrix} -2\\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\ 11 \end{bmatrix}=b x[21]+y[−22]=[111]=b
列视角将左侧的两个的向量进行线性结合得到右侧的向量
该方程的系数矩阵是一个2∗22*22∗2的矩阵A
A=[1−232]
A=
\begin{bmatrix}
1 & -2\\
3 & 2
\end{bmatrix}
A=[13−22]
矩阵的行给了我们行的视角，矩阵的列给了我们列的视角。同样的数字、方程，但不一样的图像表达
我们将以上的方程结合为矩阵的问题Ax=b\mathbf{Ax=b}Ax=b
[1−232][xy]=[111] \begin{bmatrix} 1 & -2\\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \end{bmatrix} [13−22][xy]=[111]
含有三个及以上未知数的方程的理解也是一样的，在高维的方程中，列图像更易于理解
关键问题： 如何理解 Ax\mathbf{Ax}Ax
Multiplication by rows
Ax=[(row1)⋅x)(row2)⋅x)(row3)⋅x)]
\mathbf{Ax} =
\begin{bmatrix}
(\mathbf{row1})\cdot \mathbf{x})\\
(\mathbf{row2})\cdot \mathbf{x})\\
(\mathbf{row3})\cdot \mathbf{x})
\end{bmatrix}
Ax=⎣⎡(row1)⋅x)(row2)⋅x)(row3)⋅x)⎦⎤
Multiplication by columns
Ax=x (column1)+y (column2)+z (column3)
\mathbf{Ax}=x\ (\mathbf{column1})+y\ (\mathbf{column2})+z\ (\mathbf{column3})
Ax=x (column1)+y (column2)+z (column3)
Ax as a combination of the columns of A
单位矩阵I\mathbf{I}I：只在「主对角线」上有数字1，任何矩阵乘上单位矩阵都不会改变
I=[100010001]always yields the multiplicationIx=x
\mathbf{I}=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0& 1
\end{bmatrix}\quad
always \ yields\ the \ multiplication\quad
\mathbf{Ix=x}
I=⎣⎡100010001⎦⎤always yields the multiplicationIx=x
矩阵的标记：
A=[a11a12a21a22]=[A(1,1)A(1,2)A(2,1)A(2,2)]
A=\left[\begin{array}{ll}
{a_{11}} & {a_{12}} \\
{a_{21}} & {a_{22}}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
{A(1,1)} & {A(1,2)} \\
{A(2,1)} & {A(2,2)}
\end{array}\right]
A=[a11a21a12a22]=[A(1,1)A(2,1)A(1,2)A(2,2)]
总结：本节提供了线性方程组的两种观察角度，以及对应的意义和计算方式；单位矩阵；矩阵的标记方式
作者：沉默的溪