线性代数的几何实质

Part 0

摘要：由于学业的专注点原因，许多人对线性代数的理解尚停留在代数计算方面，而并不能理解一些定义和法则是从何而来以及线性代数的本源意义。在此意义上，本文不失为一个较直观的线代入门。

Part 1 线性空间的概念

1.1 向量的实质

首先搬出一般的定义：同时具有大小与方向的量。但对于oiers来说，事实上m维向量就是具有m个元素的列表，例如stl中就把动态数组作为vector（向量）。线性代数中，常常把向量的起点认为是原点，而终点就可以唯一地表示一个向量。

在第一种意义上，向量指导了在空间中的运动。向量α=(a1,...,an)\alpha=(a_1,...,a_n)α=(a1​,...,an​)表示分别向第i个坐标轴上移动aia_iai​的长度。两个向量的相加运算就是先后执行两个运动，显然有(α+β)i=αi+βi(\alpha+\beta)_i=\alpha_i+\beta_i(α+β)i​=αi​+βi​。以此为基础理解数乘，即得(kα)i=kαi(k\alpha)_i=k\alpha_i(kα)i​=kαi​。

在第二种意义上，n维向量是用n个独立元素来确定一件事物。例如我们只关心一本书的页码和价格，就可以向量用(pages,prices)(pages,prices)(pages,prices)来表示这本书。向量的加法和数乘就是多个书的叠加。

数学上，我们会折合两种说法。例如，函数就是一个隐藏的向量。函数的加法就是把每个点对应的两个函数值相加，数乘就是每一个点对应的函数值与该数相乘，这对应(f(x1),f(x2),...)+(g(x1),g(x2),...)(f(x_1),f(x_2),...)+(g(x_1),g(x_2),...)(f(x1​),f(x2​),...)+(g(x1​),g(x2​),...)和k(f(x1),f(x2),...)=(kf(x1),kf(x2),...)k(f(x_1),f(x_2),...)=(kf(x_1),kf(x_2),...)k(f(x1​),f(x2​),...)=(kf(x1​),kf(x2​),...)，对于函数的变换，甚至可以求特征向量Ff(x)=λf(x)Ff(x)=\lambda f(x)Ff(x)=λf(x)（后文会讲到）。只不过感觉有无穷多个元素，即无穷维向量。

鉴于线性变换的意义，规定只要满足相加和数乘意义的量就是向量。

这里的“相加和数乘意义”具体指如下八条法则：

若集合V中，有：

α+β=β+α\alpha+\beta=\beta+\alphaα+β=β+α α+(β+γ)=(α+β)+γ\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gammaα+(β+γ)=(α+β)+γ 存在唯一的0∈V0\in V0∈V，使对于任何α∈V\alpha\in Vα∈V有α+0=α\alpha+0=\alphaα+0=α 存在唯一的β∈V\beta\in Vβ∈V，使α+β=0\alpha+\beta=0α+β=0 1α=α1\alpha=\alpha1α=α k(pα)=(kp)αk(p\alpha)=(kp)\alphak(pα)=(kp)α (k+p)α=kα+pα(k+p)\alpha=k\alpha+p\alpha(k+p)α=kα+pα k(α+β)=kα+kβk(\alpha+\beta)=k\alpha+k\betak(α+β)=kα+kβ

则称V为线性空间或向量空间，V中元素称为向量。容易验证，数列、矢量、函数都满足这些要求。

1.2 线性组合、张成的空间与基向量

线性组合：若干个向量αi\alpha_iαi​，对于任何一组数aia_iai​，称a1α1+a2α2+...+amαma_1\alpha_1+a_2\alpha_2+...+a_m\alpha_ma1​α1​+a2​α2​+...+am​αm​为它们的线性组合。通过几个以原点为起点的向量的线性组合，能够到达的所有区域称为它们张成的空间。

线性无关：若干个向量不能用彼此的线性组合表示出，则称它们线性无关。

在n维空间中，有一组特别的向量，它们是每个坐标轴上的单位向量。即i=(1,0,0,0,...),j=(0,1,0,0,...),k=(0,0,1,0,...)i=(1,0,0,0,...),j=(0,1,0,0,...),k=(0,0,1,0,...)i=(1,0,0,0,...),j=(0,1,0,0,...),k=(0,0,1,0,...)等等。通过向量加法的定义，我们可以知道它们可以张成整个n维空间，也就是说，能够通过线性组合表示出任意n维线性空间的向量。这一组特别的向量称为标准正交基，它们是长度为1、互相垂直的向量。

但是可以发现，事实上任意n个线性无关的向量都能够张成全空间。如果以它们作为单位向量，显然可以构建出一个网格，我们在这个线性空间内把向量的每个值理解为在每个“单位向量”所在坐标轴上的投影。但如果线性相关，则有一个“单位向量”显然会和剩余n-1个共n-1维平面（这一点很显然，请自行思考）。这样就只能张成小于n维的空间了。

n维空间这组线性无关的向量称为它的一组基或基向量。

Part 2 矩阵的本质与线性变换

“变换”一词其实就是“函数”的花哨写法。它接受一个输入向量，并给出一个输出向量。在变换中，有一类是比较容易理解且用处较多的，它们被叫做线性变换。何谓“线性”？即满足任何一条直线变换后仍是直线、原点位置不变的变换。换句话说，满足坐标网格变换后平行且等距。

那么我们究竟如何用数值来表示这一变换呢？事实上，由于线性变换的性质，我们只需要考虑基向量是如何变换的。以二维空间为例，在输入空间里，基是(1,0)(1,0)(1,0)和(0,1)(0,1)(0,1)，但输出空间中，基可能变成了(0,1)(0,1)(0,1)和(−1,0)(-1,0)(−1,0)（注：这是逆时针旋转90°的操作）。由于网格线平行等距，变换前的线性组合仍然成立。也就是说向量(a,b)=a(1,0)+b(0,1)(a,b)=a(1,0)+b(0,1)(a,b)=a(1,0)+b(0,1)，在新的空间中便是a(0,1)+b(−1,0)=(−b,a)a(0,1)+b(-1,0)=(-b,a)a(0,1)+b(−1,0)=(−b,a)。我们记录变换后的基向量的位置，把他们从左到右写一遍，凑成一个方阵(0−110)\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}(01​−10​)，则这个线性变换可以唯一地用这个方阵表示，称为“矩阵”，并且定义(0−110)(ab)\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}(01​−10​)(ab​)是变换后的向量，即(0a−1b1a+0b)\begin{pmatrix}0a-1b\\1a+0b\end{pmatrix}(0a−1b1a+0b​)。

类似地，推广到n维空间，可以得到：
A=(a11a12...a1na21a22...a2n............an1an2...ann)(x1x2...xn)=(∑1≤i≤na1ixi∑1≤i≤na2ixi...∑1≤i≤nanixi)A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum\limits_{1\le i\le n}a_{1i}x_i\\\sum\limits_{1\le i\le n}a_{2i}x_i\\...\\\sum\limits_{1\le i\le n}a_{ni}x_i\end{pmatrix}A=⎝⎜⎜⎛​a11​a21​...an1​​a12​a22​...an2​​............​a1n​a2n​...ann​​⎠⎟⎟⎞​⎝⎜⎜⎛​x1​x2​...xn​​⎠⎟⎟⎞​=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​1≤i≤n∑​a1i​xi​1≤i≤n∑​a2i​xi​...1≤i≤n∑​ani​xi​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​

但是，我们目前所述的所有矩阵，都是n×nn\times nn×n的方阵。那么非方阵的n×mn\times mn×m矩阵又是怎么回事？

事实上，线性变换并非n维到n维，一个从n维到m维的变换是完全合理的。例如以下的变换：

这是一个二维到三维的变换，可以看出，输出空间是一个三维空间中的斜面。我们同样把变换后的基向量坐标拼接在一起，成为一个3×23\times23×2的矩阵：
(Trans(e1x)Trans(e2x)Trans(e1y)Trans(e2y)Trans(e1z)Trans(e2z))\begin{pmatrix}Trans(e1_x)&Trans(e2_x)\\Trans(e1_y)&Trans(e2_y)\\Trans(e1_z)&Trans(e2_z)\end{pmatrix}⎝⎛​Trans(e1x​)Trans(e1y​)Trans(e1z​)​Trans(e2x​)Trans(e2y​)Trans(e2z​)​⎠⎞​

第一列和第二列分别是两个基e1和e2变换后的坐标。这个矩阵与二维向量相乘，并输出一个三维向量。这就是非方阵的意义。

总结一下重点

矩阵与线性变换一一对应。由于在线性变换前后同一线性组合的系数不变，则变换前后任意一个向量都可以写作基向量的同一线性组合，故我们可以用变换后的基唯一表示一个线性变换。我们将变换后的基向量从左到右写成一张数表，将其称为矩阵。线性变换作用于向量上，定义为矩阵左乘一个向量。

这里是时候讲矩阵乘法了。

考虑对X先作一个线性变换B，再作一个线性变换A，显然结果是A(BX)=ABXA(BX)=ABXA(BX)=ABX（说明：矩阵乘法从左往右算，但是对应的线性变换是从右往左分别执行）。考虑到B是变换后的基，再作变换A，最终基落在ABiAB_iABi​，其中i表示第i个基。因此我们用A对B中每个矩阵分别相乘，得到：
(AB)ij=∑k=1mAikBkj(AB)_{ij}=\sum\limits^m_{k=1}A_{ik}B_{kj}(AB)ij​=k=1∑m​Aik​Bkj​
事实上，由于线性变换并不一定与执行顺序无关，矩阵乘法没有交换律。

补充说明：“变换F执行后，网格线平行且等距”一性质，与下面的两条法则完全等价：
F(f+p)=Ff+Fp,F(kf)=kFfF(f+p)=Ff+Fp,F(kf)=kFfF(f+p)=Ff+Fp,F(kf)=kFf

Part3 行列式

在一个矩阵A对应的线性变换下，一个区域广义体积的放大率，称为A的行列式，记作∣A∣|A|∣A∣或det⁡(A)\det(A)det(A)。行列式的符号有严格的规定，后文将详述。但如果认为体积非负，那么放大率为行列式的绝对值∣∣A∣∣||A||∣∣A∣∣，在可能有歧义时，本文将行列式记作det⁡A\det AdetA，绝对值记作∣x∣|x|∣x∣。

由“网格平行且等距分布”一性质，可得到一推论：任何区域在相同的线性变换下有相同的放大率。因此，只需要考虑标准正交基所形成的n维立方体的放大率。我们说过矩阵代表基的坐标，因此可以用n阶单位阵来表示标准正交基。则：det⁡A=vol(AI)/vol(I)=vol(A)\det A=vol(AI)/vol(I)=vol(A)detA=vol(AI)/vol(I)=vol(A)，其中vol表示矩阵每个列向量所构成的n维平行多面体有向体积（即叉积）。

利用行列式几何意义显然可以得到如下性质（AiA_iAi​表示第i行或列向量）：

性质1
det⁡(A1,...,aα+bβ,...,Am)=adet⁡(A1,...,α,...,Am)+bdet⁡(A1,...β,...,Am)\det(A_1,...,a\alpha+b\beta,...,A_m)=a\det(A_1,...,\alpha,...,A_m)+b\det(A_1,...\beta,...,A_m)det(A1​,...,aα+bβ,...,Am​)=adet(A1​,...,α,...,Am​)+bdet(A1​,...β,...,Am​)
性质2（体积有向的体现）
det⁡(A1,...,Ai,...,Aj,...,Am)=−det⁡(A1,...,Aj,...,Ai,...,Am)\det(A_1,...,A_i,...,A_j,...,A_m)=-\det(A_1,...,A_j,...,A_i,...,A_m)det(A1​,...,Ai​,...,Aj​,...,Am​)=−det(A1​,...,Aj​,...,Ai​,...,Am​)
性质3
det⁡(A1,...,α,...,α,...,Am)=0\det(A_1,...,\alpha,...,\alpha,...,A_m)=0det(A1​,...,α,...,α,...,Am​)=0

利用这几个性质，有如下推导（E表示单位阵）：

（LaTeX太长懒得打了）。

这便是同济《线性代数》书中的定义。其中τσ=(−1)排列σ的逆序数\tau_\sigma=(-1)^{\text{排列}\sigma\text{的逆序数}}τσ​=(−1)排列σ的逆序数，σ\sigmaσ为1,2,3,...,n1,2,3,...,n1,2,3,...,n的一个排列。

注意第6、7个等号后面的式子，有det⁡(eσ(1),...,eσ(n))=τσ\det(e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)})=\tau_\sigmadet(eσ(1)​,...,eσ(n)​)=τσ​，这就是所谓“有向”体积。读者不妨从逆序数的定义出发，思考一下这个等式的实际意义。

行列式的计算：

基础概念

主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角行列式。 既是上，又是下三角行列式的行列式叫做对角行列式。 去除矩阵A的第i行，第j列后的行列式称为aija_{ij}aij​的余子式，（在不引起歧义时）记作MijM_{ij}Mij​。(−1)i+jMij(-1)^{i+j}M_{ij}(−1)i+jMij​称为aija_{ij}aij​的代数余子式，（在不引起歧义时）记作AijA_{ij}Aij​。

法一：转上（下）三角行列式，即高斯消元

行列式计算首推此法。

对于下三角行列式，有：
∣a11a21a22a31a32a33...am1am2am3...amm∣=∏k=1makk\begin{vmatrix}a_{11}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\...\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&...&a_{mm}\end{vmatrix}=\prod\limits_{k=1}^ma_{kk}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​...am1​​a22​a32​am2​​a33​am3​​...​amm​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=k=1∏m​akk​
证：对于行列式展开式的乘积中不为0的元素τσ∏aiJi\tau_\sigma\prod a_{iJ_i}τσ​∏aiJi​​，必有Ji<=iJ_i<=iJi​<=i，又因为是1-n的一个排列，有∑Ji=1+2+...+n\sum J_i=1+2+...+n∑Ji​=1+2+...+n，可以迭代求出Ji=iJ_i=iJi​=i。显然τσ=(−1)0=1\tau_\sigma=(-1)^0=1τσ​=(−1)0=1，所以得证。

应用性质1、2，可以把任何行列式转为这种形式。

例题：求
D=∣2011−4−1−183∣D=\begin{vmatrix}2&0&1\\1&-4&-1\\-1&8&3\end{vmatrix}D=∣∣∣∣∣∣​21−1​0−48​1−13​∣∣∣∣∣∣​
解：第一行加到第二行：
D=∣2013−40−183∣D=\begin{vmatrix}2&0&1\\3&-4&0\\-1&8&3\end{vmatrix}D=∣∣∣∣∣∣​23−1​0−48​103​∣∣∣∣∣∣​
第三行乘-1/3加到第一行：
D=∣73−8303−40−183∣=13∣7−803−40−183∣D=\begin{vmatrix}\dfrac73&-\dfrac83&0\\3&-4&0\\-1&8&3\end{vmatrix}=\dfrac13\begin{vmatrix}7&-8&0\\3&-4&0\\-1&8&3\end{vmatrix}D=∣∣∣∣∣∣∣​37​3−1​−38​−48​003​∣∣∣∣∣∣∣​=31​∣∣∣∣∣∣​73−1​−8−48​003​∣∣∣∣∣∣​
第二行乘-2加到第一行：
D=13∣1003−40−183∣=−4D=\dfrac13\begin{vmatrix}1&0&0\\3&-4&0\\-1&8&3\end{vmatrix}=-4D=31​∣∣∣∣∣∣​13−1​0−48​003​∣∣∣∣∣∣​=−4
为了方便编程实现，一般转成上三角行列式。上三角行列式的值仍然等于对角线元素之积。读者不妨模仿下三角行列式证明之。

法二：按行（列）展开

定理：D=∑1≤j≤maijAijD=\sum\limits_{1\le j\le m}a_{ij}A_{ij}D=1≤j≤m∑​aij​Aij​

求范德蒙德行列式是一个很好的例题。

Dn=D_n=Dn​=，则

证明：

法三：公理化定义法

此方法一般用于求一些特殊东西的行列式，例如：

det⁡F=kp,Ff(x)=kf(px)\det F=kp,Ff(x)=kf(px)detF=kp,Ff(x)=kf(px)

为啥？横纵坐标各放大k倍、p倍，总放大率当然是kp啦。至于函数变换为啥能求行列式？Part1有详细解释。

FfFfFf为线性变换的充要条件：fff为向量，且F(f+g)=Ff+FgF(f+g)=Ff+FgF(f+g)=Ff+Fg且F(kf)=kFfF(kf)=kFfF(kf)=kFf。

再来一个比较复杂的例子：

Ff(x)=∫−∞+∞f(t)eixtdtFf(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{ixt}dtFf(x)=∫−∞+∞​f(t)eixtdt
前面说了函数符合向量的定义，因此这显然是一个线性变换，因为F(f+g)=Ff+FgF(f+g)=Ff+FgF(f+g)=Ff+Fg且F(kf)=kFfF(kf)=kFfF(kf)=kFf。

它的逆变换呢？学过傅里叶变换的同学可以知道：
F−1f(x)=12π∫−∞+∞f(t)e−ixtdtF^{-1}f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-ixt}dtF−1f(x)=2π1​∫−∞+∞​f(t)e−ixtdt

x多了一个负号？这意味着将空间的手性取反。而这并不影响放大率，只影响符号。而由于det⁡(kA)=kdet⁡A\det(kA)=k\det Adet(kA)=kdetA，故综上得到：det⁡(F−1)=−12πdet⁡(F)\det(F^{-1})=-\dfrac1{2\pi}\det(F)det(F−1)=−2π1​det(F)。

又因为FF−1=IFF^{-1}=IFF−1=I，所以det⁡F∗det⁡F−1=det⁡(FF−1)=det⁡I=1\det F*\det F^{-1}=\det(FF^{-1})=\det I=1detF∗detF−1=det(FF−1)=detI=1

代入后得到det⁡F=±2π\det F=\pm\sqrt{2\pi}detF=±2π​。

Part4 逆矩阵、列空间与零空间 逆矩阵

满足AB=BA=IAB=BA=IAB=BA=I时，称AB互为逆矩阵，记作A=B−1A=B^{-1}A=B−1或B=A−1B=A^{-1}B=A−1。

逆矩阵的几何直观是：在线性变换A下，向量X变为了向量Y，现在给出了A和Y，求倒退回X。显然因为AX=YAX=YAX=Y，故X=A−1AX=A−1YX=A^{-1}AX=A^{-1}YX=A−1AX=A−1Y。因为在一般情况下，执行变换A，再变回来（A−1A^{-1}A−1）等于什么都没做（恒等变换）。

然而事实上，当det⁡A=0\det A=0detA=0时，由于放大率成了0，说明变换后的图形不再具有n维体积，必然降到了一个更低的维度。这就导致了许多个一个向量坐标变换后重叠。非单射函数没有反函数，因此A没有逆矩阵。

逆矩阵的求法如下：

前置概念：

把矩阵A中的每个元素换成其代数余子式，再进行转置运算，构成A的伴随矩阵，记作A∗A^{*}A∗。 把矩阵的某一行（列）乘k加到另一行（列），或交换矩阵的两个行（列），称为矩阵的初等变换。一个矩阵经过有限次初等变换构成的矩阵，称为原矩阵的等价矩阵。 转置：把矩阵A的行换成同序数列的操作称为转置矩阵，记作ATA^TAT。有：
(AT)T=A(A^T)^T=A(AT)T=A
(A+B)T=AT+BT(A+B)^T=A^T+B^T(A+B)T=AT+BT
(λA)T=λAT(\lambda A)^T=\lambda A^T(λA)T=λAT
(AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT
example：(a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2...amn)T=(a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n...amn)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&...&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&...&a_{m2}\\...&...&...&...\\a_{1n}&a_{2n}&...&a_{mn}\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛​a11​a21​...am1​​a12​a22​...am2​​............​a1n​a2n​...amn​​⎠⎟⎟⎞​T=⎝⎜⎜⎛​a11​a12​...a1n​​a21​a22​...a2n​​............​am1​am2​...amn​​⎠⎟⎟⎞​

定理：A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\dfrac1{|A|}A^{*}A−1=∣A∣1​A∗

显然A有逆的充要条件是∣A∣≠0|A|\not=0∣A∣​=0。利用∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB|=|A||B|∣AB∣=∣A∣∣B∣可以非常轻松地证明此条件，此处不再赘述。我们把∣A∣=0|A|=0∣A∣=0的矩阵称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。

另一种方法：高斯消元

构造增广矩阵[A∣I][A|I][A∣I]（把A写在左边，I写在右边拼接成的矩阵），用初等变换变换把左边变换为与之等价的对角矩阵。每行提出一个系数，把增广矩阵变换成[I∣B][I|B][I∣B]的形式。则B=A−1B=A^{-1}B=A−1。

证明：因为只有初等变换，所以相当于P[A∣I]=[I∣B]P[A|I]=[I|B]P[A∣I]=[I∣B]，即PA=I,P=BPA=I,P=BPA=I,P=B。因此得证。

一些性质：

(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A(A−1)−1=A
(kA)−1=1kA−1(kA)^{-1}=\dfrac1k A^{-1}(kA)−1=k1​A−1
(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1

例题：

1.求X使AXB=CAXB=CAXB=C

解：A−1CB−1=A−1AXBB−1=XA^{-1}CB^{-1}=A^{-1}AXBB^{-1}=XA−1CB−1=A−1AXBB−1=X

列空间、零空间与秩

三句话概括书中也许十分冗长的定义：

列空间：矩阵的所有列向量张成的空间。
秩：矩阵列空间的维数。记作rank(A)rank(A)rank(A)。
零空间：使关于向量X的方程AX=OAX=OAX=O的解空间。

当秩等于矩阵的行数和列数的最小值时，称为满秩。只有秩不满时，空间被变换成一个维度更低的空间，则显然有无数组向量被压缩到原点，只有满秩时，零空间有且仅有一个向量构成。很明显地，一个矩阵为满秩当且仅当行列式非零。

Part5 基变换

现在有一个线性空间，有两组基向量。那么在每一组基下，向量(a,b,...)(a,b,...)(a,b,...)会被看做这一组基e1,e2,...e_1,e_2,...e1​,e2​,...的线性组合ae1+be2+...ae_1+be_2+...ae1​+be2​+...。

可以看出，同一个向量在不同的基下有不同的坐标。那么如何把一个向量在两组不同的基中转换？现在的基是一组标准正交基，前面说过那么矩阵的每一列就代表每一个基变换后的坐标。我们把新的基从左到右凑成一个矩阵，称为变换矩阵。用这个矩阵左乘新基下的向量，就能得到这个向量在原有基的意义下的坐标。而现有基下的向量左乘变换矩阵的逆矩阵，即可得到新基下的表示。

例如，向量(a,b)(a,b)(a,b)在新的基(1,1),(0,1)(1,1),(0,1)(1,1),(0,1)下表示为(1011)−1(ab)\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}(11​01​)−1(ab​)。

在进一步，用新基意义下的一个矩阵A作用在现有基下的向量X，结果用现有基来表示。这个问题如何解决？

可以先对向量做基变换（左乘P−1P^{-1}P−1），再变换回来。设变换矩阵为P，则结果：PAP−1XPAP^{-1}XPAP−1X。

这样的变换有什么用武之地呢？下一部分揭晓。

Part6 特征向量与特征值

可以发现，在某些变换后，有一系列向量仍然位于原来的直线上，它们只被进行了缩放，而没有改变方向。求出这些特殊向量使很有价值的，因此有如下定义：
若AX=kXAX=kXAX=kX，其中k为数，则称X为A的特征向量，k为A的特征值。

则(A−kI)X=0(A-kI)X=0(A−kI)X=0，由det⁡(AB)=det⁡Adet⁡B\det(AB)=\det A\det Bdet(AB)=detAdetB得：若X不是零向量，则det⁡(A−kI)=0\det(A-kI)=0det(A−kI)=0。

它的一个应用是对角化矩阵：定理：若P−1APP^{-1}APP−1AP为对角矩阵，则pip_ipi​为A的特征向量。

证：设P−1AP=diag(k1,k2,...,kn)=KP^{-1}AP=diag(k_1,k_2,...,k_n)=KP−1AP=diag(k1​,k2​,...,kn​)=K（注：表示对角线分别为k1,...,knk_1,...,k_nk1​,...,kn​的对角矩阵），则：AP=PKAP=PKAP=PK，则显然有Api=kipiAp_i=k_ip_iApi​=ki​pi​，得(A−ki)pi=0(A-k_i)p_i=0(A−ki​)pi​=0，即P的第i列向量pip_ipi​是A的特征向量，kik_iki​是对应的特征值。

我们结合Part5基变换的知识，可以得到：
A=PKP−1A=PKP^{-1}A=PKP−1
因此
An=PKP−1P...P−1PKP−1=PKnP−1A^n=PKP^{-1}P...P^{-1}PKP^{-1}=PK^nP^{-1}An=PKP−1P...P−1PKP−1=PKnP−1
这就给出了一个计算矩阵n次幂的有效方法。

例如：斐波那契数列满足：
(FnFn−1)=(1110)n(0−1)\begin{pmatrix}F_n\\F_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^{n}\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}(Fn​Fn−1​​)=(11​10​)n(0−1​)

那么特征值有∣1−k11−k∣=0\begin{vmatrix}1-k&1\\1&-k\end{vmatrix}=0∣∣∣∣​1−k1​1−k​∣∣∣∣​=0

解得：k=1±52k=\dfrac{1\pm\sqrt5}2k=21±5​​则K=(1+52001−52)K=\begin{pmatrix}\dfrac{1+\sqrt5}2&0\\0&\dfrac{1-\sqrt5}2\end{pmatrix}K=⎝⎜⎛​21+5​​0​021−5​​​⎠⎟⎞​

特征向量：(1110)(xy)=k(xy)\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}(11​10​)(xy​)=k(xy​)

求解后发现：x=1±52yx=\dfrac{1\pm\sqrt5}2yx=21±5​​y

取一组简单一点的解：(1+51−522)\begin{pmatrix}1+\sqrt5&1-\sqrt5\\2&2\end{pmatrix}(1+5​2​1−5​2​)

这就得到了P。

剩余内容请自行完成。推荐使用Geogebra软件帮助计算。

这里po出结果：Fn=55((1+55)n−(1−55)n)F_n=\dfrac{\sqrt5}5((\dfrac{1+\sqrt5}5)^n-(\dfrac{1-\sqrt5}5)^n)Fn​=55​​((51+5​​)n−(51−5​​)n)

Part7 克拉默法则

方程组
{a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2......am1x1+am2x2+...+amnxn=bm\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\......\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​a11​x1​+a12​x2​+...+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+...+a2n​xn​=b2​......am1​x1​+am2​x2​+...+amn​xn​=bm​​
当其系数矩阵A的行列式非零时，有唯一解：
xi=∣Ai∣∣A∣x_i=\dfrac{|A_i|}{|A|}xi​=∣A∣∣Ai​∣​
其中
∣Ai∣=det⁡(A1,...,Ai−1,B,...,Am)|A_i|=\det(A_1,...,A_{i-1},B,...,A_m)∣Ai​∣=det(A1​,...,Ai−1​,B,...,Am​)

普通的证明可以百度，但这里我们用几何角度来解释。

对于二维变换，我们可以这样理解：

即用平行四边形面积表示x和y。

例如变换AX=(2−101)(xy)=BAX=\begin{pmatrix}2&-1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=BAX=(20​−11​)(xy​)=B

我们就可以用这个平行四边形变换后的面积/行列式=x或y。

那么如何求变换后的面积？

显然变换后的基由矩阵给出，则变换后x轴基=(2,0)=(2,0)=(2,0)，y轴基=(−1,1)=(-1,1)=(−1,1)。那么途中粉色的部分变换后显然由方程中的B向量给出。因此，变换后面积=基向量与B构成的平行四边形面积。由于前文讲过的行列式几何意义，有：
x=∣b1−1b21∣det⁡A,y=∣2b10b2∣det⁡Ax=\dfrac{\begin{vmatrix}b_1&-1\\b_2&1\end{vmatrix}}{\det A},y=\dfrac{\begin{vmatrix}2&b_1\\0&b_2\end{vmatrix}}{\det A}x=detA∣∣∣∣​b1​b2​​−11​∣∣∣∣​​,y=detA∣∣∣∣​20​b1​b2​​∣∣∣∣​​
推广到n维变换，亦是如此。

Part8 一些彩蛋

1.如果认为函数f(x)=∑k=0nakxkf(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^kf(x)=k=0∑n​ak​xk的向量表示如下：
f(x)=(a0a1xa2x2...)f(x)=\begin{pmatrix}a_0\\a_1x\\a_2x^2\\...\end{pmatrix}f(x)=⎝⎜⎜⎛​a0​a1​xa2​x2...​⎠⎟⎟⎞​
则微分算符D=ddxD=\dfrac{d}{dx}D=dxd​满足：
D=(0100...0020...0003...............)D=\begin{pmatrix}0&1&0&0&...\\0&0&2&0&...\\0&0&0&3&...\\...&...&...&...\end{pmatrix}D=⎝⎜⎜⎛​000...​100...​020...​003...​.........​⎠⎟⎟⎞​
显然有det⁡D=0\det D=0detD=0，因为第一列为0向量。这有一个很好的解释：微分算符D是没有逆运算的。

2.傅里叶变换是可以求特征向量的。它的特征向量为

本文完结 点赞是一种美德
作者：huanghaox1212

线性代数 代数 线性