内外积代数运算及python,tensorflow,matlab语句的实现
在进行数学运算的时候经常会碰到向量以及矩阵的乘法，如果对符号和概念没有搞清楚的话经常会出现错误，尤其是将数学表达式代码化的时候，如果搞不清数据的维度以及做的是哪种乘法的话也会出现一些无法避免的错误，轻则代码量较小，代码跑几秒提示错误，然后改正。重则成百上千行的代码反复尝试多次不知道错在哪里，浪费大量不必要的时间，我也是经常遇到向量以及矩阵的运算，一次搞清楚事后不复习又忘记，然后再查再忘，今天就索性自己写一篇博客，将常见的内积和外积的代数运算做一下梳理，如果能给碰到同样问题的朋友提供一些参考那就再好不过了。因为matlab作为数据处理与建模的一个很强大的工具经常被使用，可能也会偶尔遇到matlab的数学模型与python之间相互转换的过程，因此我就同时列出matlab和python的实现。 向量内积
所谓的内积（点积，数量积），代数意义总的来说就是向量对应位置的数做乘法然后求和，得到结果是一个数。
比如说3维空间中有两个向量a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2)两个向量a =(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2)两个向量a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2)，
则向量a・b=x1∗x2+y1∗y2+z1∗z2a・b=x1*x2+y1*y2+z1*z2a・b=x1∗x2+y1∗y2+z1∗z2
矩阵内积与向量内积同理，即两个同维度的矩阵对应位置上的数相乘（不过不求行列式），得到相同维度的矩阵的运算过程。
向量外积所谓的外积（叉积，向量积），概括地说，其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
比如说3维空间中有两个向量a=(x1,y1,z1a =(x1,y1,z1a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2)b=(x2,y2,z2)b=(x2,y2,z2)，
则向量a×b=(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2−y2z1,z1x2−z2x1,x1y2−x2y1)a×b=(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)a×b=(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2−y2z1,z1x2−z2x1,x1y2−x2y1)
矩阵的外积，从代数运算上来说，就是大家在学线性代数的时候学的最基础的矩阵的叉乘，如[m∗n][m*n][m∗n]维的A矩阵叉乘[n∗t][n*t][n∗t]维的B矩阵，即A×B得到[m∗t][m*t][m∗t]维的C矩阵。
内外积的具体代码实现如下：
法一：用python中列表的形式来创建矩阵/向量'''
方法一：
用列表的形式创建矩阵/向量
用numpy的np.dot()函数计算行向量内外积
'''
import numpy as np
vector_a = [1,2,3] # 1行3列的行向量
vector_b = [2,3,4]
matrix_a = [[1,2], # 2行2列的2维矩阵
[3,4]]
matrix_b = [[2,3],
[4,5]]
# in_product_1：行向量a和行向量b的内积
in_product_1 = np.dot(vector_a,vector_b)
# in_product_2：矩阵A和矩阵B的内积
in_product_2 = np.multiply(matrix_a,matrix_b)
print("in_product_1:\n",in_product_1)
print("in_product_2:\n",in_product_2)
# out_product_1：向量a和向量b的外积
out_product_1 = np.cross(vector_a,vector_b)
# out_product_2：矩阵A和矩阵B的外积
out_product_2 = np.dot(matrix_a,matrix_b)
print("out_product_1:\n",out_product_1)
print("out_product_2:\n",out_product_2)
python输出结果为
in_product_1:
20
in_product_2:
[[ 2 6]
[12 20]]
out_product_1:
[-1 2 -1]
out_product_2:
[[10 13]
[22 29]]
法二：用np.array()来创建矩阵
'''
方法二：
用数组的形式创建矩阵
用普通的数乘*计算外积
用.dot()函数计算外积
'''
matrix_c = np.array([[1,2],
[3,4]]).reshape(2,2) # 创建一个
#2行2列的矩阵
matrix_d = np.array([[2,3],
[4,5]]).reshape(2,2)
# 相当于法一的 np.multiply()
in_product_3 = matrix_c * matrix_d
# 相当于法一的 np.dot()
out_product_3 = matrix_c.dot(matrix_d)
#
print("in_product_3:\n",in_product_3)
print("out_product_3:\n",out_product_4)
输出结果为：
in_product_3:
[[ 2 6]
[12 20]]
out_product_3:
[[10 13]
[22 29]]
法二中因为用np.array()的形式创建矩阵，所以内积不仅可以用法一的方法计算，还可以用普通的数乘*计算；外积不仅可以用法一的方法计算，还可直接A.dot(B)的形式表示矩阵A叉乘矩阵B。
在创建神经网络的时候大家经常会用到tensorflow，因为最近我也在学习tensorflow的使用方法，因此顺便把tensorflow的内积实现也贴在这里供大家参考：
法三：用tensorflow实现矩阵/向量外积import tensorflow as tf
matrix_1 = tf.constant([[1,2],
[3,4]]) #创建2*2的矩阵，为常量所以用tf.constant()
matrix_2 = tf.constant([[2,3],
[4,5]]) #创建2*1的矩阵，为常量所以用tf.constant()
in_ = tf.multiply(matrix_1, matrix_2) # 矩阵内积，相当于np.multiply()和*
out_ = tf.matmul(matrix_1, matrix_2) # 矩阵外积，相当于np.dot() 和.dot()
with tf.Session() as sess:
in_product_1 = sess.run(in_)
out_product_1 = sess.run(out_)
print("in_product_1:\n", in_product_1)
print("out_product_1:\n", out_product_1)
输出结果为：
in_product_1:
[[ 2 6]
[12 20]]
out_product_1:
[[10 13]
[22 29]]
对应向量/矩阵外积的matlab的程序为：
vector_a = [1, 2 ,3];
vector_b = [2, 3, 4];
matrix_a = [1,2;3,4];
matrix_b = [2,3;4,5];
# 2个行向量内积
in_product_1 = dot(vector_a, vector_b);
# 矩阵内积
in_product_2 = matrix_a.*matrix_b;
# 2个行向量外积
out_product_1 = cross(vector_a, vector_b);
# 矩阵外积
out_product_2 = matrix_a*matrix_b;
matlab的输出结果为：
in_product_1 =
20
in_product_2 =
2 6
12 20
out_product_1 =
-1 2 -1
out_product_2 =
10 13
22 29
细心的读者可能会发现，在matlab语句中，矩阵的外积没有用dot()函数而是直接用了乘号*，这里需要注意，matlab中的dot()函数表示矩阵的列向量的内积，因此如果求矩阵的外积直接用普通的数乘即可，若对上述矩阵用dot()函数，结果则为：
matrix_a = [1,2;3,4];
matrix_b = [2,3;4,5];
dot(matrix_a*matrix_b)；
ans =
14 26
即14=1∗2+3∗4;26=2∗3+4∗514=1*2+3*4; 26=2*3+4*514=1∗2+3∗4;26=2∗3+4∗5
----------------------------------------分割线----------------------------------------
以上的例子中的所有向量均假设为行向量进行探讨，若向量为列向量，则可用np.array()初始化，对向量求转置，即可按上述方法继续求解。例如：
import numpy as np
vector_c = np.array([1,2,3]).reshape(3,1) # 创建3行1列的向量c
vector_c_T = vector_c.T #对向量c求转置
print("向量c为：\n",vector_c)
print("向量c的转置为：\n",vector_c_T)
输出结果为：
向量c为：
[[1]
[2]
[3]]
向量c的转置为：
[[1 2 3]]
ps.
写在最后，这是我第一次写博客，如果有写得不好的或者错误的地方欢迎指正。因为代码和文字全都是自己手工码出来，关键的地方也加了注释，所以如果需要转载请表明出处，谢谢大家。
作者：YoUNGgodW
