算法竞赛专题解析（12）：DP优化(2)--斜率(凸壳)优化
本系列是这本算法教材的扩展资料：《算法竞赛入门到进阶》(京东 当当 ) 清华大学出版社
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有一类DP状态方程，例如：
dp[i]=min{dp[j]−a[i]∗d[j]}dp[i] = min\{dp[j] - a[i]*d[j]\}dp[i]=min{dp[j]−a[i]∗d[j]} 0≤j<i，d[j]≤d[j+1],a[i]≤a[i+1]0≤j<i，d[j]≤d[j+1], a[i]≤ a[i+1]0≤j<i，d[j]≤d[j+1],a[i]≤a[i+1]
它的特征是存在一个既有iii又有jjj的项a[i]∗d[j]a[i]*d[j]a[i]∗d[j]。
编程时，如果简单地对iii和jjj循环，复杂度是O(n2)O(n^2)O(n2)的。
通过斜率优化（英文convex hull trick，凸壳优化），把时间复杂度优化到O(n)O(n)O(n)。
斜率优化的核心技术是斜率（凸壳）模型和单调队列。
方程对某个固定的iii，求jjj变化时dp[i]dp[i]dp[i]的最优值，所以可以把关于iii的部分看成固定值，把关于jjj的部分看成变量。把minminmin去掉，方程转化为：
dp[j]=a[i]∗d[j]+dp[i]dp[j] = a[i]*d[j] + dp[i]dp[j]=a[i]∗d[j]+dp[i]
为方便观察，令：y=dp[j]y = dp[j]y=dp[j]，x=d[j]x = d[j]x=d[j]，k=a[i]k = a[i]k=a[i]，b=dp[i]b = dp[i]b=dp[i]，方程变为：
y=kx+by = kx + by=kx+b
斜率优化的数学模型，就是把状态转移方程转换为平面坐标系直线的形式：y=kx+by = kx + by=kx+b。其中：
（1）变量xxx、yyy和jjj有关，并且只有yyy中包含dp[j]dp[j]dp[j]。点(x,y)(x, y)(x,y)是题目中可能的决策。
（2）斜率kkk、截距bbb与iii有关，并且只有bbb中包含dp[i]dp[i]dp[i]。最小的bbb包含最小的dp[i]dp[i]dp[i]，也就是状态方程的解。
注意应用斜率优化的2个条件：xxx和kkk是单调增加的，即xxx随着jjj递增而递增，kkk随着iii递增而递增。
先考虑固定iii的情况下求dp[i]dp[i]dp[i]。由于iii是定值，那么斜率k=a[i]k = a[i]k=a[i]可以看成常数。当jjj在0≤j<i0≤j<i0≤j<i内变化时，对某个jrj_rjr，产生一个点vr=(xr,yr)v_r=(x_r, y_r)vr=(xr,yr)，这个点在一条直线y=kx+bry = kx + b_ry=kx+br上，brb_rbr是截距。如图1。
图1 经过点(x, y)的直线
对于0≤j<i0≤j<i0≤j<i中所有的jjj，把它们对应的点都画在平面上，这些点对应的直线的斜率k=a[i]k= a[i]k=a[i]都相同，只有截距bbb不同。在所有这些点中，有一个点v′v'v′所在的直线有最小截距b′b'b′，算出b′b'b′，由于b′b'b′中包含dp[i]dp[i]dp[i]，那么就算出了最优的dp[i]dp[i]dp[i]。如图2。
图2 经过最优点v'的直线
如何找最优点v′v'v′？利用“下凸壳”。
前面提到，xxx是单调增加的，即xxx随着jjj递增而递增。图3(1)中给出了了4个点，它们的xxx坐标是递增的。
(1)原图 （2）去掉点3 （3找到最优的v'点
图3 用下凸壳找最优点
图3(1)中的1、2、3构成了“下凸壳”，“下凸壳”的特征是线段12的斜率小于线段23的斜率。2、3、4构成了“上凸壳”。经过上凸壳中间点3的直线，其截距b肯定小于经过2或4的有相同斜率的直线的截距，所以点3肯定不是最优点，去掉它。
去掉“上凸壳”后，得到图3(2)，留下的点都满足“下凸壳”关系。最优点就在“下凸壳”上。例如在图3(3)中，用斜率为kkk的直线来切这些点，设线段12的斜率小于kkk，24的斜率大于kkk，那么点2就是“下凸壳”的最优点。
以上操作用单调队列编程很方便。
（1）进队操作，在队列内维护一个“下凸壳”，即每2个连续点组成的直线，其斜率是单调上升的。新的点进队列时，确保它能与队列中的点一起仍然能够组成“下凸壳”。例如队列尾部的2个点是v1v_1v1、v2v_2v2，准备加入队列的新的点是v3v_3v3。比较v1v_1v1、v2v_2v2、v3v_3v3，看线段v1v2v_1v_2v1v2和v2v3v_2v_3v2v3的斜率是否递增，如果是，那么v1v_1v1、v2v_2v2、v3v_3v3形成了“下凸壳”；如果斜率不递增，说明v2v_2v2不对，从队尾弹走它；然后继续比较队列尾部的2个点和v3v_3v3；重复以上操作，直到v3v_3v3能进队为止。经过以上操作，队列内的点组成了一个大的“下凸壳”，每2个点组成的直线，斜率递增，队列保持为单调队列。
（2）出队列，找到最优点。设队头的2个点是v1v_1v1、v2v_2v2，如果线段v1v2v_1v_2v1v2的斜率比kkk小，说明v1v_1v1不是最优点，弹走它，继续比较队头新的2个点，一直到斜率大于kkk为止，此时队头的点就是最优点v′v'v′。
以上求得了一个dp[i]dp[i]dp[i]，复杂度O(n)O(n)O(n)。如果对所有的iii，每一个都这样求dp[i]dp[i]dp[i]，总复杂度仍然是O(n2)O(n^2)O(n2)的，并没有改变计算的复杂度。有优化的方法吗？
一个较小的i1i_1i1，它对应的点是{v0,v1,...,vi1v_0, v_1, ..., v_{i1}v0,v1,...,vi1}；一个较大的i2i_2i2，对应了更多的点{v0,v1,...,vi1,...,vi2v_0, v_1, ..., v_{i1}, ..., v_{i2}v0,v1,...,vi1,...,vi2}，其中包含了i1i_1i1的所有点。当寻找i1i_1i1的最优点时，需要检查{v0,v1,...,vi1v_0, v_1, ..., v_{i1}v0,v1,...,vi1}；寻找i2的最优点时，需要检查{v0,v1,...,vi1,...,vi2v_0, v_1, ..., v_{i1}, ..., v_{i2}v0,v1,...,vi1,...,vi2}。这里做了重复的检查，并且这些重复是可以避免的。这就是能优化的地方，仍然用“下凸壳”进行优化。
（1）每一个iii所对应的斜率ki=a[i]k_i = a[i]ki=a[i]是不同的，根据约束条件a[i]≤a[i+1]a[i]≤ a[i+1]a[i]≤a[i+1]，当iii增大时，斜率递增。
图4 多个i对应的直线
（2）前面已经提到，对一个i1i_1i1找它的最优点的时候，可以去掉一些点，即那些斜率比ki1k_{i1}ki1小的点。这些被去掉的点，在后面更大的i2i_2i2时，由于斜率ki2k_{i2}ki2也更大，肯定也要被去掉。
根据（1）和（2）的讨论，优化方法是：对所有的iii，统一用一个单调队列处理所有的点；被较小的i1i_1i1去掉的点，被单调队列弹走，后面更大的i2i_2i2不再处理它们。
因为每个点只进入一次单调队列，总复杂度O(n)O(n)O(n)。
下面的代码演示了以上操作。
//q[]是单调队列，head指向队首，tail指向队尾，slope()计算2个点组成的直线的斜率
for(int i=1;i<=n;i++){
while(head<tail && slope(q[head],q[head+1])<k) //队头的2个点斜率小于k
head++; //不合格，从队头弹出
int j = q[head]; //队头是最优点
dp[i] = ...; //计算dp[i]
while(head<tail && slope(i,q[tail-1])<slope(q[tail-1],q[tail])) //进队操作
tail--; //弹走队尾不合格的点
q[++tail] = i; //新的点进队列
}
为加深对上述代码的理解，考虑一个特例：进入队列的点都符合“下凸壳”特征，且这些点组成的直线的斜率大于所有的斜率kik_iki，那么结果是：队头不会被弹出，进队的点也不会被弹出，队头被重复使用nnn次。
图5 一个特例
4. 例题
下面用一个例题给出典型代码。
HDU 3507 Print Article http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3507
题目描述：打印一篇包含N个单词的文章，第i个单词的打印成本为Ci。在一行中打印k个单词的花费是 ，M是一个常数。如何安排文章，才能最小化费用？
输入：有很多测试用例。对于每个测试用例，第一行中都有两个数字N和M（0≤n≤500000，0≤M≤1000）。然后，在接下来的2到N + 1行中有N个数字。输入用EOF终止。
输出：一个数字，表示打印文章的最低费用。
样例输入：
5 5
5
9
5
7
5
样例输出：
230
题目的意思是：有NNN个数和一个常数MMM，把这NNN个数分成若干部分，每一部分的计算值为这部分数的和的平方加上MMM，总计算值为各部分计算值之和，求最小的总计算值。由于NNN很大，O(N2)O(N^2)O(N2)的算法超时。
设dp[i]dp[i]dp[i]表示输出前iii个单词的最小费用，DP转移方程：
dp[i]=min{dp[j]+(sum[i]−sum[j])2+M}dp[i] = min\{dp[j] + (sum[i]-sum[j])2 + M\}dp[i]=min{dp[j]+(sum[i]−sum[j])2+M} 0<j<i0<j<i0<j<i
其中sum[i]sum[i]sum[i]表示前iii个数字和。
下面把DP方程改写为y=kx+by = kx + by=kx+b的形式。首先展开方程：
dp[i]=dp[j]+sum[i]∗sum[i]+sum[j]∗sum[j]−2∗sum[i]∗sum[j]+Mdp[i] = dp[j] + sum[i]*sum[i] + sum[j]*sum[j] - 2*sum[i]*sum[j] + Mdp[i]=dp[j]+sum[i]∗sum[i]+sum[j]∗sum[j]−2∗sum[i]∗sum[j]+M
移项得：
dp[j]+sum[j]∗sum[j]=2∗sum[i]∗sum[j]+dp[i]−sum[i]∗sum[i]−Mdp[j] + sum[j]*sum[j] = 2*sum[i]*sum[j] + dp[i]-sum[i]*sum[i] - Mdp[j]+sum[j]∗sum[j]=2∗sum[i]∗sum[j]+dp[i]−sum[i]∗sum[i]−M
对照y=kx+by = kx + by=kx+b，有：
y=dp[j]+sum[j]∗sum[j]y = dp[j] + sum[j]*sum[j]y=dp[j]+sum[j]∗sum[j]，yyy只和jjj有关。
x=2∗sum[j]x = 2*sum[j]x=2∗sum[j]，xxx只和jjj有关，且随着jjj递增而递增。
k=sum[i]k = sum[i]k=sum[i]，kkk只和jjj有关，且随着iii递增而递增。
b=dp[i]−sum[i]∗sum[i]−Mb = dp[i] - sum[i]*sum[i] - Mb=dp[i]−sum[i]∗sum[i]−M，bbb只和i有关，且包含dp[i]dp[i]dp[i]。
下面给出代码。
#include
using namespace std;
const int MAXN = 500010;
int dp[MAXN];
int q[MAXN]; //单调队列
int sum[MAXN];
int X(int x){ return 2*sum[x]; }
int Y(int x){ return dp[x]+sum[x]*sum[x]; }
//double slope(int a,int b){return (Y(a)-Y(b))/(X(a)-X(b));} //除法不好，改成下面的乘法
int slope_up (int a,int b) { return Y(a)-Y(b);} //斜率的分子部分
int slope_down(int a,int b) { return X(a)-X(b);} //斜率的分母部分
int main(){
int n,m;
while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&sum[i]);
sum[0] = dp[0] = 0;
for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]+=sum[i-1];
int head=1,tail=1; //队头队尾
q[tail]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(head<tail &&
slope_up(q[head+1],q[head])<=sum[i]*slope_down(q[head+1],q[head]))
head++; //斜率小于k，从队头弹走
int j = q[head]; //队头是最优点
dp[i] = dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]); //计算dp[i]
while(head<tail &&
slope_up(i,q[tail])*slope_down(q[tail],q[tail-1])
<= slope_up(q[tail],q[tail-1])*slope_down(i,q[tail]))
tail--; //弹走队尾不合格的点
q[++tail] = i; //新的点进队尾
}
printf("%d\n",dp[n]);
}
return 0;
}
5. 习题
（1）洛谷P3195 玩具装箱 https://www.luogu.com.cn/problem/P3195
DP方程：dp[i]=min{dp[j]+(sum[i]+i−sum[j]−j−L−1)2}dp[i]=min\{dp[j]+(sum[i]+i−sum[j]−j−L−1)^2\}dp[i]=min{dp[j]+(sum[i]+i−sum[j]−j−L−1)2}
（2）洛谷4072 SDOI2016征途 https://www.luogu.com.cn/problem/P4072
二维斜率优化，DP方程：dp[i][p]=min{dp[j][p−1]+(s[i]−s[j])2}dp[i][p]=min\{dp[j][p−1]+(s[i]−s[j])^2\}dp[i][p]=min{dp[j][p−1]+(s[i]−s[j])2}
作者：罗勇军
