信号生成及DFT的python实现方式

Felcia ·

更新时间:2024-11-13

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DFT

DFT(Discrete Fourier Transform)，离散傅里叶变化，可以将离散信号变换到频域，它的公式非常简单:

离散频率下标为k时的频率大小

离散时域信号序列

信号序列的长度，也就是采样的个数

如果你刚接触DFT，并且之前没有信号处理的相关经验，那么第一次看到这个公式，你可能有一些疑惑，为什么这个公式就能进行时域与频域之间的转换呢？

这里，我不打算去解释它，因为我水平有限，说的不清楚。相反，在这里我想介绍，作为一个程序员，如何如实现DFT

从矩阵的角度看DFT

DFT的公式，虽然简单，但是理解起来比较麻烦，我发现如果用矩阵相乘的角度来理解上面的公式，就会非常简单，直接上矩阵：

OK，通过上面的表示，我们很容易将DFT理解成为一种矩阵相乘的操作，这对于我们编码是很容易的。

Talk is cheap, show me the code

根据上面的理解，我们只需要构建出S SS矩阵，然后做矩阵相乘，就等得到DFT的结果

在这之前，我们先介绍如何生成正弦信号，以及如何用scipy中的fft模块进行DFT操作，以验证我们的结果是否正确

正弦信号

A: 幅度

f: 信号频率

n: 时间下标

T: 采样间隔, 等于 1/fs，fs为采样频率

ϕ \phiϕ: 相位

下面介绍如何生成正弦信号


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline


def generate_sinusoid(N, A, f0, fs, phi):
 '''
 N(int) : number of samples
 A(float) : amplitude
 f0(float): frequency in Hz
 fs(float): sample rate
 phi(float): initial phase
 return 
 x (numpy array): sinusoid signal which lenght is M
 '''
 T = 1/fs
 n = np.arange(N) # [0,1,..., N-1]
 x = A * np.cos( 2*f0*np.pi*n*T + phi )
 return x
N = 511
A = 0.8
f0 = 440
fs = 44100
phi = 0
x = generate_sinusoid(N, A, f0, fs, phi)
plt.plot(x)
plt.show()


# 另一种生成正弦信号的方法，生成时长为t的序列
def generate_sinusoid_2(t, A, f0, fs, phi):
 '''
 t (float) : 生成序列的时长
 A (float) : amplitude
 f0 (float) : frequency
 fs (float) : sample rate
 phi(float) : initial phase
 returns
 x (numpy array): sinusoid signal sequence
 '''
 T = 1.0/fs
 N = t / T
 return generate_sinusoid(N, A, f0, fs, phi)
A = 1.0
f0 = 440
fs = 44100
phi = 0
t = 0.02
x = generate_sinusoid_2(t, A, f0, fs, phi)
n = np.arange(0, 0.02, 1/fs)
plt.plot(n, x)

Scipy FFT

介绍如何Scipy的FFT模块计算DFT

注意，理论上输入信号的长度必须是才能做FFT，而scipy中FFT却没有这样的限制

这是因为当长度不等于时，scipy fft默认做DFT


from scipy.fftpack import fft
# generate sinusoid
N = 511
A = 0.8
f0 = 440
fs = 44100
phi = 1.0
x = generate_sinusoid(N, A, f0, fs, phi)
# fft is
X = fft(x)
mX = np.abs(X) # magnitude
pX = np.angle(X) # phase
# plot the magnitude and phase
plt.subplot(2,1,1)
plt.plot(mX)
plt.subplot(2,1,2)
plt.plot(pX)
plt.show()

自己实现DFT

自己实现DFT的关键就是构造出S，有两种方式：


def generate_complex_sinusoid(k, N):
 '''
 k (int): frequency index
 N (int): length of complex sinusoid in samples
 returns
 c_sin (numpy array): the generated complex sinusoid (length N)
 '''
 n = np.arange(N)
 c_sin = np.exp(1j * 2 * np.pi * k * n / N)
 return np.conjugate(c_sin)
def generate_complex_sinusoid_matrix(N):
 '''
 N (int): length of complex sinusoid in samples
 returns
 c_sin_matrix (numpy array): the generated complex sinusoid (length N)
 '''
 n = np.arange(N)
 n = np.expand_dims(n, axis=1)  # 扩充维度，将1D向量，转为2D矩阵，方便后面的矩阵相乘
 k = n
 m = n.T * k / N     # [N,1] * [1, N] = [N,N]
 S = np.exp(1j * 2 * np.pi * m)  # 计算矩阵 S
 return np.conjugate(S)


# 生成信号，用于测试
N = 511
A = 0.8
f0 = 440
fs = 44100
phi = 1.0
x = generate_sinusoid(N, A, f0, fs, phi)
# 第一种方式计算DFT
X_1 = np.array([])
for k in range(N):
 s = generate_complex_sinusoid(k, N)
 X_1 = np.append(X_1, np.sum(x * s))
mX = np.abs(X_1)
pX = np.angle(X_1)
# plot the magnitude and phase
plt.subplot(2,1,1)
plt.plot(mX)
plt.subplot(2,1,2)
plt.plot(pX)
plt.show()
# 结果和scipy的结果基本相同


# 第二种方法计算DFT
S = generate_complex_sinusoid_matrix(N)
X_2 = np.dot(S, x)
mX = np.abs(X_2)
pX = np.angle(X_2)
# plot the magnitude and phase
plt.subplot(2,1,1)
plt.plot(mX)
plt.subplot(2,1,2)
plt.plot(pX)
plt.show()