You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.
Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?
Note: Given n will be a positive integer.
Example 1:
Input: 2
Output: 2
Explanation: There are two ways to climb to the top.
1. 1 step + 1 step
2. 2 steps
Example 2:
Input: 3
Output: 3
Explanation: There are three ways to climb to the top.
1. 1 step + 1 step + 1 step
2. 1 step + 2 steps
3. 2 steps + 1 step
这篇博客最开始名字叫做爬梯子问题，总是有童鞋向博主反映移动端打不开这篇博客，博主觉得非常奇怪，自己也试了一下，果然打不开。心想着是不是这个博客本身有问题，于是想再开一个相同的帖子，结果还是打不开，真是见了鬼了。于是博主换了个名字，结果居然打开了？！进经过排查后发现，原来是“爬梯子”这三个字是敏感词，放到标题里面，博客就被屏蔽了，我也真是醉了，完全是躺枪好么，无奈之下，只好改名为爬楼梯问题了 -。-|||。
这个爬梯子问题最开始看的时候没搞懂是让干啥的，后来看了别人的分析后，才知道实际上跟斐波那契数列非常相似，假设梯子有n层，那么如何爬到第n层呢，因为每次只能爬1或2步，那么爬到第n层的方法要么是从第 n-1 层一步上来的，要不就是从 n-2 层2步上来的，所以递推公式非常容易的就得出了：dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]。 由于斐波那契额数列的求解可以用递归，所以博主最先尝试了递归，拿到 OJ 上运行，显示 Time Limit Exceeded，就是说运行时间超了，因为递归计算了很多分支，效率很低，这里需要用动态规划 (Dynamic Programming) 来提高效率，代码如下：
C++ 解法一：
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n <= 1) return 1;
vector<int> dp(n);
dp[0] = 1; dp[1] = 2;
for (int i = 2; i < n; ++i) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp.back();
}
};
Java 解法一：
public class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if (n <= 1) return 1;
int[] dp = new int[n];
dp[0] = 1; dp[1] = 2;
for (int i = 2; i < n; ++i) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n - 1];
}
}
我们可以对空间进行进一步优化，只用两个整型变量a和b来存储过程值，首先将 a+b 的值赋给b，然后a赋值为原来的b，所以应该赋值为 b-a 即可。这样就模拟了上面累加的过程，而不用存储所有的值，参见代码如下：
C++ 解法二：
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
int a = 1, b = 1;
while (n--) {
b += a;
a = b - a;
}
return a;
}
};
Java 解法二：
public class Solution {
public int climbStairs(int n) {
int a = 1, b = 1;
while (n-- > 0) {
b += a;
a = b - a;
}
return a;
}
}
虽然前面说过递归的写法会超时，但是只要加上记忆数组，那就不一样了，因为记忆数组可以保存计算过的结果，这样就不会存在重复计算了，大大的提高了运行效率，其实递归加记忆数组跟迭代的 DP 形式基本是大同小异的，参见代码如下：
C++ 解法三：
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
vector<int> memo(n + 1);
return helper(n, memo);
}
int helper(int n, vector<int>& memo) {
if (n <= 1) return 1;
if (memo[n] > 0) return memo[n];
return memo[n] = helper(n - 1, memo) + helper(n - 2, memo);
}
};
Java 解法三：
public class Solution {
public int climbStairs(int n) {
int[] memo = new int[n + 1];
return helper(n, memo);
}
public int helper(int n, int[] memo) {
if (n <= 1) return 1;
if (memo[n] > 0) return memo[n];
return memo[n] = helper(n - 1, memo) + helper(n - 2, memo);
}
}
论坛上还有一种分治法 Divide and Conquer 的解法，用的是递归形式，可以通过，但是博主没有十分理解，希望各位看官大神可以跟博主讲一讲～
C++ 解法四：
public class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if(n <= 1) return 1;
return climbStairs(n / 2) * climbStairs(n - n / 2) + climbStairs(n / 2 - 1) * climbStairs(n - n / 2 - 1);
}
}
Java 解法四：
public class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if(n <= 1) return 1;
return climbStairs(n / 2) * climbStairs(n - n / 2) + climbStairs(n / 2 - 1) * climbStairs(n - n / 2 - 1);
}
}
其实斐波那契数列是可以求出通项公式的，推理的过程请参见 知乎上的这个贴子，那么有了通项公式后，直接在常数级的时间复杂度范围内就可以求出结果了，参见代码如下：
C++ 解法五：
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
double root5 = sqrt(5);
return (1 / root5) * (pow((1 + root5) / 2, n + 1) - pow((1 - root5) / 2, n + 1));
}
};
Java 解法五：
public class Solution {
public int climbStairs(int n) {
double root5 = Math.sqrt(5);
double res = (1 / root5) * (Math.pow((1 + root5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - root5) / 2, n + 1));
return (int)res;
}
}
到此这篇关于C++实现LeetCode(70.爬楼梯问题)的文章就介绍到这了,更多相关C++实现爬楼梯问题内容请搜索软件开发网以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持软件开发网！