计算机组成原理白学了，再次回顾浮点数加减
大二学的计算机组成原理，回顾下其中的知识
文章目录一个加法引发的思考计算机中的原码、反码、补码、移码原码反码补码移码为什么计算机中要用这些来表示数？计算机中如何表示小数？浮点数的转换以及加减回到本文开头提出的问题一些规则参考文章 一个加法引发的思考上次在一个论坛里看到了Java里的一些不正常的操作，比如说0.05+0.01的结果居然不是等于0.06，截图为证：（虽然说在学计算机组成原理的时候貌似也碰到过，但是那时并没有深入研究）
于是我便就此问题进行深入的探讨，不过却发现要计算机组成原理的相关知识，大二学的计算机组成原理，现在基本上全部还给老师了，于是重新回顾下计算机组成原理里相关的知识。
计算机中的原码、反码、补码、移码 原码在计算机中增加了一个符号位来表示数字的正负值，符号位为0表示正数，符号位为1表示负数，是在其数值的基础上加了符号位，举个栗子：
123的原码为：0111 1011，第一个0表示符号位，后面的就是其二进制数值。 -123的原码为：1111 1011，第一个1表示符号位，后面的就是其二进制数值。早期就是用原码来表示数字的，但是这样会出问题，举个例子，假如用8位二进制数来表示一个数，那么1的原码为 0000 0001，那么-1的原码为 1000 0001，正常来说 1+(-1) = 0，但是如果用原码来进行相加的话，结果就是 1000 0010 ，用原码来表示也就是-2，和我们正确的结果不一样，这就是原码在计算上的缺点。同样用原码来表示数会出现+0和-0的情况，但是我们的0只有一个。
反码反码也就是在原码的基础上做了一些改变，正数的反码就是其原码，负数的反码就是其原码除了符号位之后各个位取反。举个栗子：
123的反码为：0111 1000，也就是其原码。 -123的反码为：1000 0111，也就是除了符号位之外，每一位取反。 补码补码是在反码的基础上增加了一些规则，正数的补码是其本身，也就是其原码，而负数的补码也就是除符号位之外，其余各位取反，取反之后的结果加一（负数的补码相当于在其反码之后加一）。举个栗子：
123的补码为：0111 1000，也就是其原码。 -123的补码为：1000 1000，也就是其反码加一。 移码移码的计算是在补码的符号位上进行取反，举个栗子：
123的移码为：1111 1000。 -123的移码为：0000 1000。 为什么计算机中要用这些来表示数？计算机不能够像人一样直接识别10进制的数字，像1、2、3、4、5、6等，计算机中只能识别二进制的数据，所以计算机中的数据存储是以二进制为基础的，既然这样，那么就涉及到二进制数据的加减乘除，那么计算机中是如何进行处理的呢？
我们还是回到刚才讨论的1+（-1）的问题，也就是1-1的问题，如果原码表示就会出现0000 0001+1000 0001 = 1000 0010，从而得出-2的结果，这显然是不正确的，所以我们引入了反码，将二者的反码相加，0000 0001+1111 1110 = 1111 1111，然后将结果从反码转换为原码，也就是1000 0000，也就是-0，这样解决了原码减法的问题，但是还是存在问题，也就是+0和-0，在人类的认知中+0和-0是一样的，所以在计算机中也只能有一种表示。
由于反码无法解决+0和-0的问题，我们才引入补码的概念，在补码里，+0的补码为，0000 0000，-0的补码为（1000 0000）原码 ——>(1111 1111)反码 ——>(0000 0000)补码，从其反码到补码的过程由于加一之后溢出，而8位二进制数只能存储8位，所以溢出的丢弃，所以在补码里，+0,和-0的补码是一样的。
值得一提的是几个特殊数的补码，-128的补码是 1000 0000，而我们知道原码表示的时候，最高位是要用作符号位的，所以8位二进制数的原码表示范围为-（27-1）-(27-1)也就是（-127~+127），所以-128的原码是无法直接写出来的，既然这样，那-128为什么还有补码呢？
在解决上面这个问题之前，我们先来了解一下同余定理的概念，假如有两个数a和b，如果(a-b)能够被m整除，那么就称a和b对模m同余，这就是同余定理。现在我们回到之前，补码的提出是为了解决两个问题，第一个是计算机里的减法，将减法变成加法来做；第二个问题就是+0和-0的解决。而补码的提出就是为了让负数变成能够加的正数。这里我们举个栗子，我们知道那种挂钟是以12为单位的，如果现在是8点，我们想将其变成5点，有两种方式，第一种是顺时针拨动9格，另外一种是逆时针拨动3格。逆时针拨动3格很容易理解，就是8-3=5，而顺时针拨动9格即是8+9 = 8+（12-3） = 17=12+5。两种方式都能够得到结果，但是第一种方法采取的是化减为加的方法。
那么我们可以借鉴这样的思路来实现计算机中的减法变加法，通过以上的介绍我们很容易知道8位二进制的模为256，因为满256就进位。那么，我们来计算1+（-2）的时候，就可以计算1+（256-2）=255，而255的表示为1111 1111，刚好就是结果-1的补码（（-1）——>(1000 0001)原码 ——>(1111 1110)反码 ——>(1111 1111)补码）。
那么也就是说，求一个数的补码还可以这样求，一个数的补码 = 模-这个数的绝对值。既然如此，我们就可以求-128的补码，-128的补码等于256-128，而256-128得到的结果是128，也就是（1000 0000），所以-128的补码是（1000 0000）。而我们知道，能够通过一个数的补码从而求其原码，方法是符号位不变，其他位取反，然后末尾加一，当对符号位有进位时，进位忽略（当然这是针对符号位为 1的，若符号位为0，那么原码即是补码）。既然如此那么我们根据-128的补码求其原码，（1000 0000）补码 ——>取反(1111 1111)加一（1000 0000）原码也就是说，-128的原码是-0，不过的确是这样，因为在补码里+0和-0的补码是一样的，所以选择其中一个表示0，当然+0就被选上了，那么多出的一个自然就被用作-128，所以8位二进制数的补码表示的数字要比原码和反码多一个-128。
所以我们来做一个小总结：（基于8位二进制数）
-128的补码是[1000 0000]，没有原码（根据补码求得的原码在原码看来是-0），没有反码。 +128在8位二进制数中是没有原码、反码、补码。 +1的原码是[0000 0001]，反码是[0111 1110]，补码是[0000 0001]。 -1的原码是[1000 0001],反码是[1111 1110]，补码是[1111 1111]。 0的原码是[0000 0000]，反码是[0111 1111]，补码是[0000 0000]。 计算机中如何表示小数？在计算机组成原理这门课中我们学过，浮点数的表示有分为32位浮点数的表示和64位浮点数的表示，他们的表示方法如下图：
上面的两张图分别表示的是32位浮点数在计算机中的表示和64位浮点数在计算机中的表示，这里的阶码就类似我们使用科学计数法的指数，举个栗子，123我们用科学计数法表示为1.23×102在这里2就是阶数，而我们在利用科学计数法进行加减的时候是这样进行的，比如说1.23×102+2.556×103,我们的做法是通过移动小数点将它们的阶数变成一致，然后再进行相加。而我们通常会把小的阶数转化成大的阶数，然后再进行相加，所以转化成0.123×103+2.556×103=2.679×103。
而在计算机中同样如此，我们之前讨论过了，在计算机中是以补码的形式进行加减操作的，所以如果阶码也是用补码的话就造成了一个问题？上面我们说过我们在进行数字的相加的时候要进行对阶操作，也就是将阶数小的转化成阶数大的(这里可能有同学会问为什么不将大阶对小阶，你可以试一下，原因是大阶对小阶造成的数字丢失要比小阶对大阶要大)。那这样的话，首先要进行阶数的比较，不然怎么知道谁大谁小，如果阶码采取补码的方式，那么在一个浮点数里就有两个符号位，这样不便直接通过无逻辑的二进制进行比较，所以阶码这里不能采取有符号数，只能采取无符号数，既然这样我们为什么要用移码来表示阶码呢？
这样，我们先来提出机器零的概念，在计算机中是不能够准确的表示自然界中的0的，只能表示一个比较接近于0的数，所以在计算机中，当一个数小于计算机能够表示最小数的时候，计算机就认为这个数为0，这就是机器零，而我们知道浮点数的表示方法（32位浮点数）为(-1)S1.M×2E-127 ，其中S位符号位，M位尾数，E为阶码。所以当尾数全为0的时候不论阶码多少，这个数为0，而当阶码小于能表示的范围的最小值的时候，不论尾数为多少，这个数为0（这是因为当阶码小于能够表示范围的最小值的时候，那么整个数也就小于能够表示范围的最小值了，自然也就当0看待，那么就不用了管尾数的多少了）。
弄懂了机器零的概念，我们再回到上面讨论的用移码来表示阶码的问题。我们知道机器0在二进制的表示上是不为0的，只是在概念上为0，那么为了使机器零在表示上为0，我们引入了移码，移码在原来补码的基础上符号位取反，相当于是最高位加1，等同于整个数在原来的基础上加了2n-1其中n表示的是二进制数的位数。那也就是说在32位浮点数的里原来的数加上128就能够得到阶码了？实际上不是128而是127，那这又是什么原因呢？如果单纯的按照移码的定义，那么偏置为128能够表示的数的范围为-128~127，但是要注意0000 0000和1111 1111，这两个数分别表示非规格化数和无穷大，也就是两个边界状态，那也就是说我们实际的移码范围是0000 0001到1111 1110，也就是1到254，如果采取偏置为128那么，表示的范围是-127到126，和原来的范围相比左右各收缩一个单位，如果偏置为127，那么表示的范围是-126到127，和原来的范围相比，负数表达的范围小了，正数表达的范围没变，我们知道，在计算机中一个更大的数的表示比一个更小的数的表示要重要，所以在这里我们的偏置取127，也就是2n-1-1,那么在64位浮点数里偏置自然也就是1023了。
浮点数的转换以及加减通过上面知识的回顾，我们来几道题目练下手，加深印象。
（-0.75）10转化成IEEE 754单精度浮点表示
那么我们只需要将0.05和0.01分别用64为浮点数表示，之后再进行相加即可，步骤如下：
在将0.05化成二进制小数的时候采用了如下Java程序辅助计算：
在此之后笔者又找到这样的例子，并用刚才的方法进行验证，最终得出正确的结果，如下：
细说浮点数
浮点数的加减法
浮点数的运算步骤
浮点数运算中的舍入问题
为什么说浮点数缺乏精确性，知乎陈清扬回答
【南京大学计算机组成原理】袁春风
作者：城南有梦
