概率密度函数及其在信号方面的简单理解（中）频谱密度函数

上学期修了外学院的自动控制原理课，学习非线性控制系统的处理时用到了傅里叶级数，老师就让我稍稍讲下如何从傅里叶级数到傅里叶变换。我在准备讲解的时候就被频谱密度函数困扰了，讲的时候自己偷偷掠过，心里却一直耿耿于怀，借这个小专题解决此事。

我们都知道频谱密度函数是用来描述非周期信号的傅里叶变换的，提到傅里叶变换就不得不说说他的老大哥傅里叶级数。一提到傅里叶，估计脑袋直接就大了，书上那一大堆数学推导，好烦人。本篇里我想省略一大部分数学推导，直接用公式解释为主。在以后的文章里，我会专门开一个有关傅里叶级数和傅里叶变换推导的专题，具体数学的推理到时再见。

首先，隆重介绍法国数学家傅里叶，他在1822年研究热传导理论时发表了《热的分析理论》，提出了将周期信号展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。现在随便翻开一本教材，《信号与系统》，《通信原理》，《数字信号处理》，到处都有傅里叶级数，傅里叶变换这些字眼出现，一般还会顺便带上一大批又臭又长的公式，看到就让人心烦。

好了，闲话少说，步入正题。

林福民老师的《数学物理方法简明教程》里是这样说的：

傅里叶级数展开是把一个复杂的周期性函数表示为一系列具有倍频关系的正弦和余弦函数的线性叠加。实际上，一个复杂的周期性函数代表一个复杂振动，一个正弦或余弦函数代表一个简谐振动。傅里叶级数展开实际上是把一个复杂振动分解为一系列具有倍频关系的简谐振动的线性叠加，这在信号处理和频谱分析中具有十分重要的意义。

郑君里老师的《信号与系统》书中是这样说的：

任何一个满足“狄利赫里”条件的非周期信号都能写成以下形式：

> 图1

> 图2

形象一点，我们来举一个
典型周期信号的例子：周期矩形脉冲信号

图3 周期矩形信号的波形

图4 周期矩形信号的频谱

图5 周期矩形信号的复数频谱

这里的图4把幅度谱和相位谱放在同一张图里了

这里的图5是复数域的频谱。须注意的是：这里虽然在图像里看到了负频率，但是其出现完全因为三角函数写成指数形式时数学运算的结果，并没有任何物理意义。

那现在思考下，如果该矩形周期信号的周期变大了，会怎么样那？

图6 不同T值下周期矩形信号的频谱

哎，看上图是不是发现了些啥？随着时域里周期的变大，频域里发生了两个明显的变化：一是振幅变小了，二是谱线变密了。

记住这俩特点，我们进入后半篇！

（这里说到傅里叶级数是因为下文要用傅里叶级数引出，这里只是简单的介绍一丁点）

终于要进入正题了！先放上傅里叶变换公式镇楼！（这里暂时省下公式的解释，以后的篇幅会详细讨论）

图7 傅里叶正逆变换公式

注意！

刚刚我们稍微讨论了下周期信号的傅里叶级数，并得到了它的离散频谱。仍以周期矩形信号为例，当周期信号的周期T增大时，周期信号就转化为非周期信号的单位脉冲信号。所以可以把非周期信号看成周期趋于无穷大的周期信号。

**注意！**上一小节咱发现的特点：时域里周期信号的周期增大时，谱线变密了，间隔变小了。若周期趋于无穷大，则谱线距离趋于无穷小，这样，离散谱就变成连续谱了！！！

再看看上面的公式，再看看下面的图8，连续谱对应积分公式，没错。

哎，看到这里是不是感觉，哎，我明白了他就是图 (d)里的连续谱！可别着急，刚刚说的第二条性质是啥？随时域里信号周期变大，频域的振幅变小！那咱继续想，当时域周期趋于无穷大时，那频域振幅岂不是接近于0了？？那为0了不是没有意义了吗？？ 既然成为一个信号，必然含有一定的能量，无论怎么分解，所含能量是不变的。因此此前我们用的那种纵坐标直接表示频谱幅值的方法就不能采用了，引入了新的量——“频谱密度函数”。

根据上面的解释我们可以知道当周期趋向于无穷大时，幅值F(nw1)趋向于无穷小，w1也趋向于无穷小，但是此时(2pi) F(nw1)/w1不等于零，而趋近于有限值，变成一个连续函数，通常记为F(w)或F(jw)，表示单位频带宽度的频谱值——即频谱密度的概念。(这里的2*pi是归一化频率)

图8 周期信号的离散频谱到非周期信号的连续频谱

还记得上一篇讲“概率密度函数”时，我们是怎么解释概率密度函数某一点代表的含义吗？

概率是需要一个区间的，概率密度函数图像上某一点x，不应该说在这一点上概率怎样，而应该说在该点附近的某一区间内，这个区间可以是x的邻域（可能趋近于0）。对x邻域内的f（x）进行积分，可以求得这个邻域的面积，该面积就代表了事件发生在这个区域内的概率。

到这里的频谱密度函数我们也可以类比过来理解（这也就是我写上篇概率密度函数的原因）

我们取频谱密度函数图像上某一点附近一小段频率，对这个区间内F(w)进行积分，得到的面积值，就表示信号在那一频率点的幅值。如图©所示，近似以一个小长方体面积值代表幅值，当w1取到很小时，就连续了嘛，变成了(d) 。
（终于说完正题了，之前的篇幅都是为最后这一段话服务的）

以上均为个人的简单理解，如有错误，欢迎指正~~~

[1] 信号与系统上 郑君里

[2] 数学物理方法简明教程 林福民

写之前只想解释下频率密度函数，写的过程中脑子里蹦出来很多新的想法，其中傅里叶级数可是个大有说头的东西，写完这篇后感觉一定要再开一篇傅里叶级数的文章，这里先留个坑，敬请期待~~

概率密度 函数 概率密度函数