【线代笔记】1.2 Lengths and Dot Products - 长度与点积
上节提到了向量的乘法，本节定义关于v和w的点积（dot product）
v=(v1,v2)\mathbf{v}=(v_1,v_2)v=(v1,v2)和w=(w1,w2)\mathbf{w}=(w_1,w_2)w=(w1,w2)的点积或内积是一个数字 v⋅w\ \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} v⋅w
v⋅w=w⋅v=v1w1+v2w2
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = \mathbf{w}\cdot\mathbf{v} = v_1 w_1 + v_2 w_2
v⋅w=w⋅v=v1w1+v2w2
点积顺序的改变对结果不会产生影响
对于点积来说，两个垂直的向量的点积为0，最典型的例子就是x轴上的 i=(1,0)\mathbf{i}=(1,0)i=(1,0)和y轴上的 j=(0,1)\mathbf{j}=(0,1)j=(0,1)
对于更高维度，点积代表两个向量对应分量的积的和
v⋅w=v1w1+⋯+vnwn=∑inviwi
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = v_1 w_1 + \cdots +v_n w_n = \sum_i^n v_i w_i
v⋅w=v1w1+⋯+vnwn=i∑nviwi
有一种特殊的情况为向量与自身的点积，例如有v=(1,2,3)\mathbf{v} = (1,2,3)v=(1,2,3)，则有
∣∣v∣∣2=v⋅v=[123]⋅[123]=1+4+9=14
{||\mathbf{v}||}^2 = \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}
= \begin{bmatrix}
1\\
2\\
3
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1\\
2\\
3
\end{bmatrix}
=1+4+9=14
∣∣v∣∣2=v⋅v=⎣⎡123⎦⎤⋅⎣⎡123⎦⎤=1+4+9=14
由此定义向量v的长度||v||为点积=v⋅v\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}v⋅v的平方根
length=∣∣v∣∣=v⋅v=(v12+v22+⋯+vn2)1/2
length = ||v|| = \sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}} = (v_1^2 + v_2^2 +\cdots +v_n^2)^{1/2}
length=∣∣v∣∣=v⋅v=(v12+v22+⋯+vn2)1/2
单位通常用来代表度量单位中的 一，单位向量就是长度为1的向量，即 u⋅u=1\mathbf{u}\cdot\mathbf{u} =1u⋅u=1
而标准单位向量就是沿着x轴和y轴的i与j。另外，表示与x轴夹角的单位向量为(cosθ,sinθ)(\cos\theta,\sin\theta)(cosθ,sinθ)
对于一般非零向量，除以自身长度即可得到单位向量
u=v/∣∣v∣∣is a unit vector in the same direction as v
\mathbf{u} =\mathbf{v} / ||\mathbf{v}||\quad is\ a \ unit \ vector \ in \ the \ same \ direction \ as \ \mathbf{v}
u=v/∣∣v∣∣is a unit vector in the same direction as v
当v垂直于w的时候，两个向量的点积为0，证明过程如下所示
零向量v=0\mathbf{v}=\mathbf{0}v=0垂直任何向量，因为零向量与任何向量的点积都为0
对于两个非零向量v、w来说，夹角可大于90°，也可以等于或小于90°，因而有余弦公式
v⋅w∣∣v∣∣ ∣∣w∣∣=cosθ
\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{||\mathbf{v}|| \ ||\mathbf{w}||} = \cos\theta
∣∣v∣∣ ∣∣w∣∣v⋅w=cosθ
由上式可以分别推出施瓦兹不等式和三角不等式
∣v⋅w∣≤∣∣v∣∣ ∣∣w∣∣
|\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}| \leq||\mathbf{v}|| \ ||\mathbf{w}||
∣v⋅w∣≤∣∣v∣∣ ∣∣w∣∣
∣∣v+w∣∣≤∣∣v∣∣+∣∣w∣∣ ||\mathbf{v}+\mathbf{w}|| \leq ||\mathbf{v}|| + ||w|| ∣∣v+w∣∣≤∣∣v∣∣+∣∣w∣∣
在上述结论的特殊情况下也可以得出几何平均值小于算术平均值的结论
总结：本节在向量的基础上，描述了向量的长度，并新定义了点积的运算方式，引出向量的垂直与向量间夹角的计算两个概念
作者：沉默的溪
